Giovanni Reale - ΠΛΑΤΩΝ (47)

   Συνέχεια από: Παρασκευή 25 Ιουλίου 2025

Giovanni Reale 

ΠΛΑΤΩΝ

VΙIΙ

ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΜΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ «ΝΑ ΜΗΝ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ»

Ιδανικοί αριθμοί

Ενδιάμεσες μαθηματικές οντότητες

Αριθμητική, γεωμετρία

Ο ουσιώδης ρόλος τους στη σκέψη του Πλάτωνα και στα εκπαιδευτικά προγράμματα της Ακαδημίας

Ιδεατοί αριθμοί και αριθμητική δομή των Ιδεών

ΓΙΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΟΥΜΕ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ που θέσαμε, πρέπει να αντιμετωπίσουμε το γενικό ζήτημα των «αριθμών» και των «γεωμετρικών σχημάτων», το οποίο ο Πλάτων θέτει και επιλύει με έναν ιδιαίτερα σύνθετο τρόπο, διακρίνοντας, αφενός, τους ιδεατούς αριθμούς και σχήματα, και άρα σε στενή σχέση με τις Ιδέες και με τις Αρχές, και, αφετέρου, τους αριθμούς και τα σχήματα στο μαθηματικό επίπεδο, το οποίο, όπως θα δούμε, συνιστά ένα οντολογικά «ενδιάμεσο» επίπεδο ανάμεσα στο νοητό και το αισθητό. Πρόκειται για ένα πολύ δύσκολο ζήτημα, αλλά που είναι πραγματικά αναγκαίο να αντιμετωπιστεί και να κατανοηθεί κατάλληλα, αν θέλουμε να κατανοήσουμε σε βάθος τη σκέψη του Πλάτωνα.

Ήδη έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο κεφάλαιο το γεγονός ότι υπάρχουν σαφείς δεσμοί μεταξύ Αριθμών, Ιδεών και Αρχών. Ορισμένες αρχαίες πηγές μιλούν για ταύτιση μεταξύ Ιδεών και Αριθμών· αλλά, στην πραγματικότητα, πρόκειται για μια σχέση πολύ πιο σύνθετη, όπως θα δούμε, την οποία ο Πλάτων διερεύνησε πιθανόν από την εποχή της ίδρυσης της Ακαδημίας.

Το πρώτο σημείο που πρέπει να κατανοηθεί αφορά τη διάκριση ανάμεσα στους ιδεατούς Αριθμούς (και σχήματα) και τους μαθηματικούς αριθμούς (και σχήματα). Οι ιδεατοί Αριθμοί είναι εκείνοι που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε μεταφυσικούς αριθμούς: αυτοί εκπροσωπούν τις ίδιες τις ουσίες των μαθηματικών αριθμών. Ακριβώς ως τέτοιοι, οι ιδεατοί Αριθμοί δεν είναι «χειρίσιμοι», δηλαδή δεν μπορούν να υποβληθούν σε αριθμητικές πράξεις. Έχουν, συνεπώς, διαφορετικό οντολογικό καθεστώς από αυτό των μαθηματικών αριθμών, καθώς συνιστούν ακριβώς την ίδια την ουσία των αριθμών, και η ουσία των αριθμών δεν μπορεί να τροποποιηθεί μέσω πράξεων: δεν είναι δυνατό, για παράδειγμα, να προστεθεί η ουσία του δύο με εκείνη του τρία, ή να αφαιρεθεί από την ουσία του τρία η ουσία του δύο, και ούτω καθεξής.

Οι ιδεατοί Αριθμοί θεωρούνταν από τον Πλάτωνα ως οι «πρώτες παραγόμενες μορφές» από τις δύο πρώτες Αρχές. Αυτοί εκπροσωπούν με πρωτοτυπική μορφή, και συνεπώς παραδειγματική, εκείνη τη συνθετική δομή της ενότητας-μέσα-στην-πολλαπλότητα, που χαρακτηρίζει κάθε μορφή ύπαρξης σε όλα τα επίπεδα. Έτσι, το ιδεατό Ένα είναι ο πρώτος τυπικός καθορισμός της Αρχής, του Ένα-Αρχή, και το ιδεατό Δύο είναι ο πρώτος τυπικός καθορισμός της Δυάδας του μεγάλου και μικρού, η οποία καθορίζεται με ενέργεια του Ενός. Φαίνεται ότι οι ιδεατοί Αριθμοί για τον Πλάτωνα περιορίζονταν στην δεκάδα, ή εν πάση περιπτώσει εστιάζονταν σε αυτή, καθώς η δεκάδα είναι η μήτρα όλων των άλλων αριθμών.

Αλλά για να κατανοήσουμε τον λόγο για τον οποίο ο Πλάτων δεν ταύτιζε τις Ιδέες με τους Αριθμούς — κάτι που μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα — χρειάζεται να κατανοηθεί ότι ο ιδιαίτερος τρόπος με τον οποίο οι Έλληνες αντιλαμβάνονταν τον αριθμό διαφέρει σημαντικά από τον δικό μας, όπως έχει εξηγήσει καλά ο Ο. Toeplitz. [O. Toeplitz, Η σχέση των μαθηματικών και της θεωρίας των ιδεών στον Πλάτωνα, στο O. Bekker (επιμέλεια), Zur Geschichte der griechischen Mathematik (Η ιστορία των ελληνικών μαθηματικών), Darmstadt 1965, σ. 45-75.] Για τους Έλληνες ο αριθμός δεν νοούνταν κυρίως ως «ακέραιος αριθμός», δηλαδή ως ένα είδος συμπαγούς μεγέθους, αλλά ως μια οργανωμένη αναλογία μεγεθών και κλασμάτων μεγεθών: οι αριθμοί νοούνταν ως λόγοι και αναλογίες. Κατά συνέπεια, ο ελληνικός λόγος είναι ουσιαστικά συνδεδεμένος με τη διαστατική έννοια του αριθμού, ακριβώς με τη σημασία του «σχέσης». Για τους λόγους αυτούς, είναι απολύτως φυσικό για τους Έλληνες να συνδέουν τις «σχέσεις» με τους αριθμούς, δεδομένων των στενών δεσμών μεταξύ σχέσεων και αριθμών.

Εάν αυτό διατηρείται καλά στο νου, τότε εξηγείται πολύ καλά η σχέση μεταξύ των Ιδεών και των Αριθμών κατά τον Πλάτωνα.

Κάθε Ιδέα είναι τοποθετημένη σε μια ακριβή θέση στον νοητό κόσμο, ανάλογα με τον μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό καθολικότητάς της και ανάλογα με τη λιγότερο ή περισσότερο σύνθετη μορφή των σχέσεων που αυτή διατηρεί με τις άλλες Ιδέες που βρίσκονται είτε επάνω είτε κάτω από αυτή. Αυτή η ύφανση σχέσεων, συνεπώς, μπορεί να ανασυγκροτηθεί και να προσδιοριστεί μέσω διαλεκτικών διεργασιών (για τις οποίες θα μιλήσουμε σε άλλο κεφάλαιο)· και ακριβώς για τους εξηγημένους λόγους, αυτή η ύφανση μπορεί να εκφραστεί αριθμητικά, από τη στιγμή που ο αριθμός εκφράζει σχέσεις. Να προστεθεί επίσης ότι οι «σχέσεις» δεν πρέπει να εννοούνται μόνο με αριθμητική έννοια, αλλά και με γεωμετρική, έτσι ώστε η δομική ύφανση των σχέσεων να αποβαίνει εξαιρετικά σύνθετη και πολύπλοκη.

Πρέπει ακόμη να ληφθεί υπόψη ότι αυτές οι αριθμητικές και γεωμετρικές σχέσεις, στο μέτρο που εκφράζουν την οντολογική δομή, είναι εκείνο που παραμένει στη σταθερότητα του Είναι, και δεν έχουν καμία σχέση με τις αφαιρέσεις με τη σύγχρονη έννοια, όπως θα δούμε.

Συνεπώς, στη σύλληψη του αριθμού ως «σχέσης» (λόγος), με την έννοια που μόλις προσδιορίστηκε, βρίσκεται το κλειδί για να μπορέσουμε να διαβάσουμε και να κατανοήσουμε αυτό το εξαιρετικά λεπτό σημείο των «άγραφων διδαχών» [Βλ. Reale, Per una nuova interpretazione di Platone..., σ. 228 κ.ε].