Συνέχεια από : ΠΕΜΠΤΗ, 28 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2010
Χανς Πρίμας
7. Η ιδέα της πραγματικότητας του συμβόλου.
Μια ολιστική όψη πρέπει να αναγνωρίση την ύπαρξη του εξωλογικού ως ένα ισότιμο αντίθετο του λογικού. Ο Πάουλι υπερασπίζεται απέναντι στην πατροπαράδοτη (καθιερωμένη) έννοια πραγματικότητας των φυσικών επιστημών μιαν καινούργια ιδέα της πραγματικότητας , που συμπεριλαμβάνει το φανταστικό (Imaginales) και αρχικές εικόνες. Η ύπαρξη ενός κόσμου αρχετυπικών εικόνων (mundus imaginalis) δεν μπορεί να εξηγηθή ορθολογικά, αλλά πρέπει να εννοηθή ως αρχικό (αρχέγονο) φαινόμενο. Ο Γιουνγκ και ο Πάουλι χρησιμοποιούν γι’ αυτό την έννοια του παράλογου (Irrationales) «όχι με την έννοια του αντιλογικού , αλλά του εξωλογικού , εκείνου δηλαδή που δεν μπορεί να δικαιολογηθή με τη λογική. Σύμφωνα με τον Γιουνγκ, ανήκουν «αρχέγονες εικόνες… γενικά στην ανθρωπότητα και μπορούν να γεννηθούν αυτόχθονα σε κάθε κεφάλι (νου), αμέριμνες για χρόνο και τόπο. Χρειάζονται μόνον οι κατάλληλες συνθήκες για την αφύπνισή τους». Ο Πάουλι λέει για τον εαυτό του, ότι είναι μάλλον ένας περισσότερο απ’ τους ψυχολόγους της γιουγκιανής κατεύθυνσης πλατωνιστής. Το αίτημά του μιας ολιστικής σκέψης είναι περιεκτικό, περιλαμβάει εικόνες και σύμβολα και απαιτεί να ληφθούν υπ’ όψιν συμπληρωματικές όψεις . Γράφει σ’ ένα γράμμα στον Μάρκους Φιρτς ο Πάουλι:
Όταν αναλύη κανείς τις προσυνειδητές βαθμίδες των εννοιών, βρίσκει πάντα ιδέες, που συνίστανται από “συμβολικές” εικόνες με ισχυρό εν γένει συγκινησιακό περιεχόμενο. Η πρώτη βαθμίδα της σκέψης είναι μια απεικονιστική θεώρηση αυτών των εσωτερικών εικόνων, που η προέλευσή τους δεν μπορεί να αναχθή… γενικά κι ούτε πρώτιστα σε αντιλήψεις των αισθήσεων… Η αρχαϊκή διάθεση είναι όμως και η αναγκαία προϋπόθεση και η πηγή της επιστημονικής διάθεσης. Σε μιαν πλήρη γνώση ανήκει κι εκείνη των εικόνων, απ’ τις οποίες έχουν αναπτυχθή οι λογικές έννοιες… Αυτό που τακτοποιεί και ρυθμίζει πρέπει να τοποθετηθή πέρα απ’ τη διάκριση “φυσικού” και “ψυχικού” – έτσι όπως έχουν οι “ιδέες” του Πλάτωνα κάτι από έννοιες κι επίσης κάτι από “φυσικές δυνάμεις” (γεννούν αφ’ εαυτών ενέργειες). Συνηγορώ πολύ, να ονομάσουμε αυτό “που τακτοποιεί και ρυθμίζει” “αρχέτυπα”˙ θα ήταν όμως ανεπίτρεπτο μετά, να τα ορίσουμε ως ψυχικά περιεχόμενα. Οι αναφερθείσες εσωτερικές εικόνες (“δεσπόζουσες του συλλογικού ασυνείδητου” κατά τον Γιουνγκ) είναι πολύ περισσότερο η ψυχική εκδήλωση των αρχετύπων, που θά ’πρεπε να παράγουν, να γεννούν και να προκαθορίζουν όμως επίσης όλα τα σύμφωνα με τον φυσικό νόμο (τα κατά φύσιν;…) στη συμπεριφορά του υλικού κόσμου. Οι φυσικοί νόμοι του υλικού κόσμου θα ήταν τότε η φυσική εκδήλωση των αρχετύπων… Θα έπρεπε να έχη τότε κάθε φυσικός νόμος μιαν εσωτερική αντιστοιχία και αντίστροφα, έστω κι αν δεν μπορή να το δη κανείς αυτό πάντοτε άμεσα σήμερα».
Οι ιδέες του Πάουλι για μιαν καινούργια φυσική επιστήμη διερρήγνυαν (ανατίναζαν) την αντίληψη των φίλων του. Σ’ ένα γράμμα τού 1953 γράφει ο Πάουλι στον Φιρτς:
«Είμαι πεπεισμένος, ότι αυτά τα με παραλλαγές εκτεινόμενα σε πολλά χρόνια ονειρικά θέματα δεν έχουν να κάνουν μόνο με την προσωπική μου κατάσταση, αλλά και αντικειμενικότερα με τους βαθύτερους λόγους (αιτίες) της στασιμότητας της φυσικής. Είμαι δυστυχώς επίσης πεπεισμένος, ότι το ζήτημα να κατανοηθούν και να εξηγηθούν τέτοια όνειρα, ξεπερνά κατά πολύ τις ικανότητες του συνόλου των ψυχολόγων της εποχής μας. Δεν θεωρώ επίσης ως αρχικά τόσο σημαντικό, να συζητάμε όνειρα ˙ θεωρώ αντίθετα ως σημαντικό, να συζητάμε ευθέως το πρόβλημα της αντικειμενικότητας της αντίθεσης προς τις ίδιες τις φυσικές επιστήμες » .
Η πράξη της φυσικής επιστήμης δεν είναι νοητή χωρίς φαντασιώδη (imaginale) στοιχεία. Ο ενεργητικός ερευνητής γνωρίζει πολύ καλά, ότι ανάμεσα στην ιδεολογικοποίηση των διδακτικών βιβλίων και την καθημερινή επιστημονικοφυσική άσκηση υπάρχει ένα σχεδόν αγεφύρωτο χάσμα. Η επιστημονική διαμόρφωση θεωριών έχει και ονειρικό ακριβώς χαρακτήρα, που μόλις περιγράφεται με διδακτικά βιβλία. Λέει σ’ αυτό ο Βόλφγκανγκ Πάουλι:
«Ελπίζω, πως κανείς δεν έχει πια τη γνώμη, ότι οι θεωρίες παράγονται μέσω εξαναγκαστικών λογικών συμπερασμάτων από βιβλία πρωτοκόλλων, μια άποψη, που ήταν ακόμα στις φοιτητικές μου μέρες πολύ στη μόδα. Οι θεωρίες πραγματοποιούνται μέσα από μιαν εμπνευσμένη απ’ το εμπειρικό υλικό κατανόηση, η οποία πρέπει να εξηγηθή το καλύτερο απ’ όλα σε σύνδεση με τον Πλάτωνα ως η επικάλυψη εσωτερικών εικόνων με εξωτερικά αντικείμενα και τη συμπεριφορά τους. Η δυνατότητα της κατανόησης δείχνει εκ νέου την ύπαρξη ρυθμιστικών τυπικών διατάξεων, στις οποίες είναι υποταγμένα τόσο το εσωτερικό όσο και το εξωτερικό του ανθρώπου».
Τέτοιες βαθειές επικαλύψεις ανάμεσα στην ψυχή και την ύλη «πρέπει αναμφίβολα να υπάρχουν, γιατί δεν θα ήταν αλλιώς απολύτως ποτέ σε θέση να εφευρίσκη (επινοή) έννοιες, που ταιριάζουν εν γένει στη φύση, η ανθρώπινη ψυχή» (σ.σ.: Ο Πάουλι σ’ ένα γράμμα στον Ραλφ Κρόνιχ τής 10. Μαρτίου 1946). Γράφει στο (ορισμένο απ’ τον ίδιον να μη δημοσιευθή) χειρόγραφό του απ’ τον Ιούνιο 1948 «Σύγχρονα παραδείγματα στη “φυσική τού βάθους”» περαιτέρω ο Πάουλι:
«Θεωρημένοι απ’ την πλευρά της ψυχολογίας, εμφανίζονται οι φυσικοί νόμοι ως “προβολές” αρχετυπικών συνδέσεων ιδεών, ενώ θεωρημένο απ’ έξω θα έπρεπε να εννοηθή και το μικροφυσικό συμβάν ως αρχετυπικό, όπου ο “κατοπτρισμός” του στο ψυχικό (πεδίο…) είναι ένας αναγκαίος όρος για τη δυνατότητα της γνώσης».
Μόνο δηλώνοντας το φαντασιώδες ως «μη χρειαζούμενο», και αποκλείοντάς το απ’ τις δημόσιες συζητήσεις, μπορεί να οργανώση ορθολογικά την πραγματικότητα η φυσική επιστήμη. Οι κρίσεις των φυσικών επιστημών ηχούν ορθολογικές, γιατί δεν αναφέρονται τα φαντασιώδη τους στοιχεία. Αλλά δεν είναι γι’ αυτό κατά κανέναν τρόπο ακόμα μια ορθολογική επιχείρηση ως ανθρώπινη δράση η φυσική επιστήμη, γιατί δεν μπορούν να βγουν απ’ τη μέση γεγονότα με την άγνοια. Στα καθαρά μαθηματικά και στη θεωρητική φυσική ανήκει αυτή η κατανόηση προ πολλού στα γενικά αγαθά (σ.σ.: Πρβλ. εδώ π.χ. το «An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field» του Jacques Hadamard). Λέει έτσι ο θεωρητικός φυσικός Μάρκους Φιρτς: «Η θεωρητική φυσική φαίνεται βέβαια εντελώς ορθολογική, αλλ’ αυτό ανατέλλει (πηγάζει) από παράλογα βάθη!».
Η καταστολή του φαντασιώδους στη φυσική επιστήμη δεν είναι φυσικά πλήρης. Η γνήσια επιστημονική εργασία δεν είναι αρχικά ποτέ αναλυτική, αλλά έχει πολύ να κάνη με τη διαίσθηση, που είναι ριζωμένη στο εικονικό και συμβολικό. Η ορθολογική επιχειρηματολογία είναι για τις φυσικές επιστήμες αδιαφιλονίκητα εξόχου σημασίας, η δημιουργική όμως φαντασία δεν είναι κατόρθωμα του λόγου (Ratio). Κάθε θεωρητικός γνωρίζει, ότι απ’ τη μαθηματική του διατύπωση εκπορεύεται μια ισχυρή μαγεία (γοητεία), την οποία δεν την κατανοεί κατά κανέναν τρόπο ο ίδιος ορθολογικά, η οποία του παρέχει όμως μέγιστη πνευματική ευχαρίστηση. Οι συνήθεις εξηγήσεις και ορθολογικοποιήσεις δεν επιτρέπουν να εννοηθή το αποτέλεσμα της μαθηματικής περιγραφής της φύσης. Επισήμως λέγονται λίγα πάνω σ’ αυτό. Υπάρχουν ωστόσο εξαιρέσεις, όπως π.χ. το άρθρο με τον τίτλο “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Νatural Sciences” («Η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες») του Eugene P. Wigner. Γράφει: «Το θαύμα της οικειοποίησης της γλώσσας των μαθηματικών για τη διατύπωση των νόμων της φυσικής είναι ένα θαυμάσιο δώρο το οποίο ούτε εννοούμε ούτε αξίζουμε». Όπως παρατηρεί ο Νόρμπερτ Βίνερ (Norbert Wiener), δεν θα είναι εύκολα κατανοητό σ’ έναν μη μαθηματικό, «ότι διαθέτουν μιαν πολιτιστική και αισθητική χάρη τα μαθηματικά, ότι έχουν κάτι να κάνουν με ομορφιά ή δύναμη ή αίσθημα». Δίπλα στη λογική ακρίβεια παίζουν τόσο στα μαθηματικά όσο και στις επιστημονικοφυσικές θεωρίες αισθητικές όψεις έναν αποφασιστικό ρόλο. Λέει έτσι π.χ. ο μαθηματικός Godfrey Harold Hardy (1877-1947): «Τα πρότυπα των μαθηματικών πρέπει να είναι, όπως των ζωγράφων ή των ποιητών, ωραία ˙ οι ιδέες πρέπει να ταιριάζουν μαζί, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις, μ’ έναν αρμονικό τρόπο. Η καλλονή είναι το πρώτο κριτήριο: δεν υπάρχει μόνιμος τόπος στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά». Για τη θεωρητική φυσική αντιπροσωπεύει ο Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1947) – ένας απ’ τους θεμελιωτές της κβαντομηχανικής – μιαν παρόμοια άποψη: «Μου φαίνεται σήμερα, πως η καλύτερη αφετηρία, που μπορεί να έχη κανείς στη φυσική, βρίσκεται στην αποδοχή, ότι οι φυσικοί νόμοι βασίζονται (ερείδονται) πάνω σε ωραίες εξισώσεις. Η μοναδική πράγματι σημαντική απαίτηση είναι, ότι οι βασικές εξισώσεις έπρεπε να είναι χαρακτηριστικής μαθηματικής “ωραιότητας”». Το ωραίο είναι ένας αποφασιστικός, αν και ορθολογικά δύσκολα αντιληπτός και γι’ αυτό συχνά καταπιεσμένος παράγοντας σε κάθε επιστημονική εργασία. Όχι μόνον ο φόβος, αλλά και η ωραιότητα ανήκει στις σκοτεινές όψεις της φυσικής επιστήμης.
Τα μαθηματικά κι η θεωρητική φυσική επιστήμη είναι συμβολικές κατασκευές, που γεννούν (παράγουν) κατ’ αρχάς από κάποιαν άποψη τον κόσμο. Για τον Πάουλι είναι η μαθηματική παράσταση μια αποκλειστικά συμβολική περιγραφή. Γράφει σ’ ένα γράμμα στον Levin Goldschmidt:
«Το σύμβολο είναι πάντοτε ένα αφηρημένο σημείο (σημάδι), είτε ποσοτικό είτε ποιοτικό, είτε μαθηματικά θεωρούμενο ή συγκινησιακά εκτιμημένο (“αισθηματικά φορτωμένο”). Μόνον ένα μέρος τού συμβόλου μπορεί να εκφραστή με συνειδητές ιδέες, ένα άλλο μέρος επενεργεί στην “ασυνείδητη” ή “προσυνειδητή” κατάσταση του ανθρώπου. Έτσι συμβαίνει και με το μαθηματικό σημείο, γιατί μόνον εκείνος είναι προικισμένος για τα μαθηματικά, για τον οποίον κατέχουν αυτά τα σημεία (με την εξηγημένη έννοια) δύναμη συμβόλου. Το σύμβολο είναι πάντοτε ένα τρίτο (tertium) που ενώνει αντίθετα, το οποίο δεν μπορεί να “παράσχη” όμως μόνη της η λογική» (σ.σ.: Από γράμμα του Πάουλι της 19. Φεβρουαρίου 1949 στον ως άνω συνάδελφό του).
8. Η φαντασιώδης (imaginäre) ενότητα στα μαθηματικά.
Ένα εξαιρετικό παράδειγμα για ένα μαθηματικό σημείο με δύναμη συμβόλου είναι η φαντασιώδης ενότητα i (i ² = -1) . Φαντασιώδεις αριθμοί εισήχθησαν για πρώτη φορά, όμως μόνο «με την υπερνίκηση πνευματικών βασάνων», απ’ τον Τζιρόλαμο Καρντάνο (Girolamo Cardano – 1501-1576) με το όνομα «quantitas sophistica» («σοφιστικές ποσότητες»). Υπολόγισε κανείς στη συνέχεια, χωρίς να ανησυχήση πολύ για τη φύση των φαντασιωδών και συμπλεγματικών αριθμών, ζωηρά κι ελεύθερα μ’ αυτούς, έφτασε σε χρήσιμους υπολογιστικούς κανόνες, εκπλήττονταν όμως, ότι μπορούσαν να παραχθούν μαθηματικώς χρήσιμα αποτελέσματα μ’ αυτόν τον τρόπο. Θεωρούνταν εκ τούτου για πολύν καιρό ως «απαράστατοι», «φανταστικοί» μόνο, ως «φαντασιώδη» μεγέθη οι εκφρασμένοι με τη μορφή √ - α, α › Ο αριθμοί. Τους χαρακτηρίζει τέρατα και αμφίβια μεταξύ είναι και μη είναι (ύπαρξης και ανυπαρξίας) ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646-1703). Ο χαρακτηρισμός του √ - 1 ως φαντασιώδη ενότητα i εισήχθη το 1777 απ’ τον Όιλερ (Euler) και έγινε αργότερα κοινό αγαθό (κοινός τόπος;) των μαθηματικών με τον Γκάους (Gauss).
Η γεωμετρική παράσταση των συμπλεγματικών αριθμών μέσω των σημείων του επιπέδου και η γεωμετρική δια παραδειγμάτων εξήγηση των υπολογιστικών πράξεων συνδέεται με τα ονόματα των John Wallis (1616-1703), Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) και Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Αυτή η γεωμετρική εξήγηση έθεσε σιγά-σιγά κατά μέρος τη δυσπιστία των μαθηματικών απέναντι στους φαντασιώδεις αριθμούς και βοήθησε έτσι το ξέσπασμα των συμπλεγματικών αριθμών. Η προτιμητέα σήμερα στην εκπαίδευση αλγεβρική εισαγωγή συμπλεγματικών αριθμών α + iβ με ένα ζεύγος ( α, β ) πραγματικών αριθμών α και β ανάγεται στον William Rowan Hamilton (1805-1865) . Σύμφωνα προς τους απλούς υπολογιστικούς κανόνες του Hamilton με αριθμητικά ζεύγη, παίζει το ( 1, 0 ) = 1 τον ρόλο του Ενός, και το ( 0,1 ) = i τον ρόλο της φαντασιώδους ενότητας (μονάδας) i , η οποία λόγω του ( 0,1 ) ² = ( - 1,0 ) στην εξίσωση i ² + 1 = 0 επαρκεί. Είναι έτσι όλα τυπικώς κρυστάλλινα. Λέει σ’ αυτό ο Alfred North Whitehead:
«Πολλοί μαθηματικοί δεν είχαν τότε εντελώς σαφή αντίληψη για το λογικό δικαίωμα της ενέργειάς τους, και διαδόθηκε η ιδέα, ότι μπορούσαν να εκφέρουν κατά έναν οποιονδήποτε μυστηριώδη τρόπο μέσω κατάλληλου χειρισμού άλογα σημεία τις έγκυρες αποδείξεις για μαθηματικές προτάσεις. Καμμιά μεγαλύτερη παρανόηση απ’ αυτό! Ένα σύμβολο, του οποίου δεν έχει οριστή ακριβώς η έννοια, δεν είναι γενικώς σύμβολο. Είναι απλώς μια πιτσιλιά μελάνι πάνω στο χαρτί, που διαθέτει μιαν εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή. Δεν μπορεί όμως να αποδείξη κανείς τίποτα με μια σειρά από πιτσιλιές μελάνι, εκτός απ’ την ύπαρξη μιας κακής πένας ή ενός αμελούς (αδιάφορου) γραφέα».
Αυτό είναι φυσικά σωστό, δεν είναι ωστόσο πλήρως επιτυχές. Ο Whitehead κατανοεί ως ένα σύμβολο ένα απλό σημείο. Κατά τον Γιουνγκ είναι όμως ένα σημείο «πάντα λιγότερο σημαντικό απ’ την έννοια, για την οποίαν υπάρχει, ενώ ένα σύμβολο περιέχει πάντα περισσότερα, απ’ όσα μπορεί ν’ αντιληφθή κανείς με την πρώτη ματιά». Καταλαβαίνουμε σήμερα καλά διανοητικά τον υπερβολικά σημαντικό ρόλο των συμπλεγματικών αριθμών στα μαθηματικά (θεμελιώδης πρόταση της άλγεβρας˙ ελευθερία αντίφασης, αλγεβρική αποκλειστικότητα, πληρότητα και μοναδικότητα του σώματος των συμπλεγματικών αριθμών), το οποίο δεν υπονοεί κατά κανέναν τρόπο όμως, ότι η φαντασιώδης ενότητα δεν είναι και ένα εμφορούμενο σημασίας σύμβολο, με την έννοια τυχόν του Γιουνγκ ως «έκφραση ενός πράγματος που δεν μπορεί να χαρακτηριστή με κάποιον άλλον τρόπο καλύτερα». ‘Ένα σύμβολο δεν υπάρχει μόνο για ένα πράγμα, αλλά είναι το πράγμα. Μπορεί π.χ. να αποδείξη σήμερα κάθε φυσικός επιστήμων χωρίς κανέναν κόπο την εκπληκτική υπόθεση του Euler απ’ το 1728
το οποίο δεν προξενεί όμως καμμιάν ζημιά σ’ αυτές τις εκφράσεις. Η εσωτερική συνάρτηση της φαντασιώδους ενότητας i με τον πραγματικόν αριθμό e = 2,71828… και τον πραγματικόν αριθμό π = 3,14159… μένει καταπληκτική και δείχνει πως, με μιαν ορισμένην έννοια, οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να εννοηθούν μόνο μέσα απ’ τους φαντασιώδεις. Τέτοιες καθόλου σπάνιες στα μαθηματικά καταστάσεις των πραγμάτων υποβάλλουν την υπόθεση, ότι δεν πρόκειται εδώ για δικές μας απλώς κατασκευές και επινοήσεις, αλλ’ ότι παραπέμπουν οι μαθηματικές μας ανακαλύψεις σε μιαν πραγματικήν ύπαρξη σε μιαν ανεξάρτητη από ’μάς μαθηματική πραγματικότητα σ’ έναν πλατωνικό κόσμο των ιδεών. Στην πραγματικότητα, ο αριθμός i δεν επινοήθηκε ενδεχομένως, αλλά, για να το πούμε σωστά, ανακαλύφθηκε : χρησιμοποιήθηκε άλλωστε στη λύση τετραγωνικών ισοτήτων. Με την έννοια αυτή, η φαντασιώδης ενότητα i δεν είναι απλώς ένα μαθηματικό σημείο, που η σημασία του έχει κανονιστή μέσω αξιωματικά ορισθέντων κανόνων παιχνιδιού, αλλ’ είναι πέρα απ’ αυτό ένα ζωντανό σύμβολο, που αναφέρεται και στις τέσσερις ψυχικές λειτουργίες. Αν κατανοούνταν με κάθε περιεκτικότητα το σύμβολο, θ’ ακυρωνόταν η δύναμή του.
Παρ’ όλο που ο αλγεβρικός ορισμός της φαντασιώδους ενότητας i = √ - 1 δεν αφήνει ανοιχτές κανενός είδους επιθυμίες, δεν κατέχουμε τα συμπεράσματα της χρήσης συμπλεγματικών αριθμών στη μαθηματική έρευνα κατά κανέναν τρόπο καλώς. Ακόμα κι οι καλύτεροι μαθηματικοί έχουν πάντα μια μόνον αποσπασματική, εντελώς ουσιαστικά ατελή επισκόπηση πάνω σ’ αυτόν τον κόσμο των ιδεών. Το συμπλεγματικό αριθμητικό σύστημα είναι ασύλληπτα δραστικό. Οδηγεί έτσι π.χ. η θεωρία των συμπλεγματικών αναλυτικών συναρτήσεων πάλι και πάλι σε ουδέποτε προηγουμένως υποτεθείσες απόψεις και συνδέει μαθηματικές επιμέρους περιοχές, που δεν έχουν φαινομενικά καμμιά δουλειά αναμεταξύ τους. Ένα διάσημο παράδειγμα είναι ενδεχομένως η συνάρτηση Ζήτα ζ του Riemann , μια αναλυτική συνάρτηση z ׀ → ζ ( z ) των συμπλεγματικών μεταβλητών z = x + iy , η οποία μπορεί να ορισθή με τη συγκλίνουσα στο ημιεπίπεδο x > 1 σειρά
Η συνάρτηση Ζήτα του Riemann είναι μεγίστης σημασίας για τη θεωρία των πρώτων αριθμών, γιατί ισχύει επίσης η παράσταση γινομένου του Euler
όπου το γινόμενο εκτείνεται πέρα απ’ όλους τους πρώτους αριθμούς p . Προκύπτει έτσι ένας εντελώς αναπάντεχος συνδυασμός μεταξύ της θεωρίας των φυσικών αριθμών και της θεωρίας των συμπλεγματικών αναλυτικών συναρτήσεων. Κυριαρχεί στην πραγματικότητα η συνάρτηση Ζήτα του Riemann κατά μυστηριώδη τρόπο τη θεωρία των φυσικών αριθμών, όπως την κατανομή ας πούμε των πρώτων αριθμών. Είναι ισοδύναμη π.χ. η σειρά (το σύνολο) των πρώτων αριθμών με το ότι ζ ( 1 + iy ) ≠ 0 . Θα εκπλαγή όχι μόνον ο αρχάριος, αλλά κι ο σκεπτικός μαθηματικός: γιατί πρέπει να εισάγη κανείς, αν θέλη να εννοήση τους πρώτους αριθμούς, τη φαντασιώδη ενότητα i = √ - 1 ;
(συνεχίζεται)
Aμέθυστος
Χανς Πρίμας
7. Η ιδέα της πραγματικότητας του συμβόλου.
Όταν αναλύη κανείς τις προσυνειδητές βαθμίδες των εννοιών, βρίσκει πάντα ιδέες, που συνίστανται από “συμβολικές” εικόνες με ισχυρό εν γένει συγκινησιακό περιεχόμενο. Η πρώτη βαθμίδα της σκέψης είναι μια απεικονιστική θεώρηση αυτών των εσωτερικών εικόνων, που η προέλευσή τους δεν μπορεί να αναχθή… γενικά κι ούτε πρώτιστα σε αντιλήψεις των αισθήσεων… Η αρχαϊκή διάθεση είναι όμως και η αναγκαία προϋπόθεση και η πηγή της επιστημονικής διάθεσης. Σε μιαν πλήρη γνώση ανήκει κι εκείνη των εικόνων, απ’ τις οποίες έχουν αναπτυχθή οι λογικές έννοιες… Αυτό που τακτοποιεί και ρυθμίζει πρέπει να τοποθετηθή πέρα απ’ τη διάκριση “φυσικού” και “ψυχικού” – έτσι όπως έχουν οι “ιδέες” του Πλάτωνα κάτι από έννοιες κι επίσης κάτι από “φυσικές δυνάμεις” (γεννούν αφ’ εαυτών ενέργειες). Συνηγορώ πολύ, να ονομάσουμε αυτό “που τακτοποιεί και ρυθμίζει” “αρχέτυπα”˙ θα ήταν όμως ανεπίτρεπτο μετά, να τα ορίσουμε ως ψυχικά περιεχόμενα. Οι αναφερθείσες εσωτερικές εικόνες (“δεσπόζουσες του συλλογικού ασυνείδητου” κατά τον Γιουνγκ) είναι πολύ περισσότερο η ψυχική εκδήλωση των αρχετύπων, που θά ’πρεπε να παράγουν, να γεννούν και να προκαθορίζουν όμως επίσης όλα τα σύμφωνα με τον φυσικό νόμο (τα κατά φύσιν;…) στη συμπεριφορά του υλικού κόσμου. Οι φυσικοί νόμοι του υλικού κόσμου θα ήταν τότε η φυσική εκδήλωση των αρχετύπων… Θα έπρεπε να έχη τότε κάθε φυσικός νόμος μιαν εσωτερική αντιστοιχία και αντίστροφα, έστω κι αν δεν μπορή να το δη κανείς αυτό πάντοτε άμεσα σήμερα».
Οι ιδέες του Πάουλι για μιαν καινούργια φυσική επιστήμη διερρήγνυαν (ανατίναζαν) την αντίληψη των φίλων του. Σ’ ένα γράμμα τού 1953 γράφει ο Πάουλι στον Φιρτς:
«Είμαι πεπεισμένος, ότι αυτά τα με παραλλαγές εκτεινόμενα σε πολλά χρόνια ονειρικά θέματα δεν έχουν να κάνουν μόνο με την προσωπική μου κατάσταση, αλλά και αντικειμενικότερα με τους βαθύτερους λόγους (αιτίες) της στασιμότητας της φυσικής. Είμαι δυστυχώς επίσης πεπεισμένος, ότι το ζήτημα να κατανοηθούν και να εξηγηθούν τέτοια όνειρα, ξεπερνά κατά πολύ τις ικανότητες του συνόλου των ψυχολόγων της εποχής μας. Δεν θεωρώ επίσης ως αρχικά τόσο σημαντικό, να συζητάμε όνειρα ˙ θεωρώ αντίθετα ως σημαντικό, να συζητάμε ευθέως το πρόβλημα της αντικειμενικότητας της αντίθεσης προς τις ίδιες τις φυσικές επιστήμες » .
Η πράξη της φυσικής επιστήμης δεν είναι νοητή χωρίς φαντασιώδη (imaginale) στοιχεία. Ο ενεργητικός ερευνητής γνωρίζει πολύ καλά, ότι ανάμεσα στην ιδεολογικοποίηση των διδακτικών βιβλίων και την καθημερινή επιστημονικοφυσική άσκηση υπάρχει ένα σχεδόν αγεφύρωτο χάσμα. Η επιστημονική διαμόρφωση θεωριών έχει και ονειρικό ακριβώς χαρακτήρα, που μόλις περιγράφεται με διδακτικά βιβλία. Λέει σ’ αυτό ο Βόλφγκανγκ Πάουλι:
«Ελπίζω, πως κανείς δεν έχει πια τη γνώμη, ότι οι θεωρίες παράγονται μέσω εξαναγκαστικών λογικών συμπερασμάτων από βιβλία πρωτοκόλλων, μια άποψη, που ήταν ακόμα στις φοιτητικές μου μέρες πολύ στη μόδα. Οι θεωρίες πραγματοποιούνται μέσα από μιαν εμπνευσμένη απ’ το εμπειρικό υλικό κατανόηση, η οποία πρέπει να εξηγηθή το καλύτερο απ’ όλα σε σύνδεση με τον Πλάτωνα ως η επικάλυψη εσωτερικών εικόνων με εξωτερικά αντικείμενα και τη συμπεριφορά τους. Η δυνατότητα της κατανόησης δείχνει εκ νέου την ύπαρξη ρυθμιστικών τυπικών διατάξεων, στις οποίες είναι υποταγμένα τόσο το εσωτερικό όσο και το εξωτερικό του ανθρώπου».
Τέτοιες βαθειές επικαλύψεις ανάμεσα στην ψυχή και την ύλη «πρέπει αναμφίβολα να υπάρχουν, γιατί δεν θα ήταν αλλιώς απολύτως ποτέ σε θέση να εφευρίσκη (επινοή) έννοιες, που ταιριάζουν εν γένει στη φύση, η ανθρώπινη ψυχή» (σ.σ.: Ο Πάουλι σ’ ένα γράμμα στον Ραλφ Κρόνιχ τής 10. Μαρτίου 1946). Γράφει στο (ορισμένο απ’ τον ίδιον να μη δημοσιευθή) χειρόγραφό του απ’ τον Ιούνιο 1948 «Σύγχρονα παραδείγματα στη “φυσική τού βάθους”» περαιτέρω ο Πάουλι:
«Θεωρημένοι απ’ την πλευρά της ψυχολογίας, εμφανίζονται οι φυσικοί νόμοι ως “προβολές” αρχετυπικών συνδέσεων ιδεών, ενώ θεωρημένο απ’ έξω θα έπρεπε να εννοηθή και το μικροφυσικό συμβάν ως αρχετυπικό, όπου ο “κατοπτρισμός” του στο ψυχικό (πεδίο…) είναι ένας αναγκαίος όρος για τη δυνατότητα της γνώσης».
Μόνο δηλώνοντας το φαντασιώδες ως «μη χρειαζούμενο», και αποκλείοντάς το απ’ τις δημόσιες συζητήσεις, μπορεί να οργανώση ορθολογικά την πραγματικότητα η φυσική επιστήμη. Οι κρίσεις των φυσικών επιστημών ηχούν ορθολογικές, γιατί δεν αναφέρονται τα φαντασιώδη τους στοιχεία. Αλλά δεν είναι γι’ αυτό κατά κανέναν τρόπο ακόμα μια ορθολογική επιχείρηση ως ανθρώπινη δράση η φυσική επιστήμη, γιατί δεν μπορούν να βγουν απ’ τη μέση γεγονότα με την άγνοια. Στα καθαρά μαθηματικά και στη θεωρητική φυσική ανήκει αυτή η κατανόηση προ πολλού στα γενικά αγαθά (σ.σ.: Πρβλ. εδώ π.χ. το «An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field» του Jacques Hadamard). Λέει έτσι ο θεωρητικός φυσικός Μάρκους Φιρτς: «Η θεωρητική φυσική φαίνεται βέβαια εντελώς ορθολογική, αλλ’ αυτό ανατέλλει (πηγάζει) από παράλογα βάθη!».
Η καταστολή του φαντασιώδους στη φυσική επιστήμη δεν είναι φυσικά πλήρης. Η γνήσια επιστημονική εργασία δεν είναι αρχικά ποτέ αναλυτική, αλλά έχει πολύ να κάνη με τη διαίσθηση, που είναι ριζωμένη στο εικονικό και συμβολικό. Η ορθολογική επιχειρηματολογία είναι για τις φυσικές επιστήμες αδιαφιλονίκητα εξόχου σημασίας, η δημιουργική όμως φαντασία δεν είναι κατόρθωμα του λόγου (Ratio). Κάθε θεωρητικός γνωρίζει, ότι απ’ τη μαθηματική του διατύπωση εκπορεύεται μια ισχυρή μαγεία (γοητεία), την οποία δεν την κατανοεί κατά κανέναν τρόπο ο ίδιος ορθολογικά, η οποία του παρέχει όμως μέγιστη πνευματική ευχαρίστηση. Οι συνήθεις εξηγήσεις και ορθολογικοποιήσεις δεν επιτρέπουν να εννοηθή το αποτέλεσμα της μαθηματικής περιγραφής της φύσης. Επισήμως λέγονται λίγα πάνω σ’ αυτό. Υπάρχουν ωστόσο εξαιρέσεις, όπως π.χ. το άρθρο με τον τίτλο “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Νatural Sciences” («Η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες») του Eugene P. Wigner. Γράφει: «Το θαύμα της οικειοποίησης της γλώσσας των μαθηματικών για τη διατύπωση των νόμων της φυσικής είναι ένα θαυμάσιο δώρο το οποίο ούτε εννοούμε ούτε αξίζουμε». Όπως παρατηρεί ο Νόρμπερτ Βίνερ (Norbert Wiener), δεν θα είναι εύκολα κατανοητό σ’ έναν μη μαθηματικό, «ότι διαθέτουν μιαν πολιτιστική και αισθητική χάρη τα μαθηματικά, ότι έχουν κάτι να κάνουν με ομορφιά ή δύναμη ή αίσθημα». Δίπλα στη λογική ακρίβεια παίζουν τόσο στα μαθηματικά όσο και στις επιστημονικοφυσικές θεωρίες αισθητικές όψεις έναν αποφασιστικό ρόλο. Λέει έτσι π.χ. ο μαθηματικός Godfrey Harold Hardy (1877-1947): «Τα πρότυπα των μαθηματικών πρέπει να είναι, όπως των ζωγράφων ή των ποιητών, ωραία ˙ οι ιδέες πρέπει να ταιριάζουν μαζί, όπως τα χρώματα ή οι λέξεις, μ’ έναν αρμονικό τρόπο. Η καλλονή είναι το πρώτο κριτήριο: δεν υπάρχει μόνιμος τόπος στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά». Για τη θεωρητική φυσική αντιπροσωπεύει ο Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1947) – ένας απ’ τους θεμελιωτές της κβαντομηχανικής – μιαν παρόμοια άποψη: «Μου φαίνεται σήμερα, πως η καλύτερη αφετηρία, που μπορεί να έχη κανείς στη φυσική, βρίσκεται στην αποδοχή, ότι οι φυσικοί νόμοι βασίζονται (ερείδονται) πάνω σε ωραίες εξισώσεις. Η μοναδική πράγματι σημαντική απαίτηση είναι, ότι οι βασικές εξισώσεις έπρεπε να είναι χαρακτηριστικής μαθηματικής “ωραιότητας”». Το ωραίο είναι ένας αποφασιστικός, αν και ορθολογικά δύσκολα αντιληπτός και γι’ αυτό συχνά καταπιεσμένος παράγοντας σε κάθε επιστημονική εργασία. Όχι μόνον ο φόβος, αλλά και η ωραιότητα ανήκει στις σκοτεινές όψεις της φυσικής επιστήμης.
Τα μαθηματικά κι η θεωρητική φυσική επιστήμη είναι συμβολικές κατασκευές, που γεννούν (παράγουν) κατ’ αρχάς από κάποιαν άποψη τον κόσμο. Για τον Πάουλι είναι η μαθηματική παράσταση μια αποκλειστικά συμβολική περιγραφή. Γράφει σ’ ένα γράμμα στον Levin Goldschmidt:
«Το σύμβολο είναι πάντοτε ένα αφηρημένο σημείο (σημάδι), είτε ποσοτικό είτε ποιοτικό, είτε μαθηματικά θεωρούμενο ή συγκινησιακά εκτιμημένο (“αισθηματικά φορτωμένο”). Μόνον ένα μέρος τού συμβόλου μπορεί να εκφραστή με συνειδητές ιδέες, ένα άλλο μέρος επενεργεί στην “ασυνείδητη” ή “προσυνειδητή” κατάσταση του ανθρώπου. Έτσι συμβαίνει και με το μαθηματικό σημείο, γιατί μόνον εκείνος είναι προικισμένος για τα μαθηματικά, για τον οποίον κατέχουν αυτά τα σημεία (με την εξηγημένη έννοια) δύναμη συμβόλου. Το σύμβολο είναι πάντοτε ένα τρίτο (tertium) που ενώνει αντίθετα, το οποίο δεν μπορεί να “παράσχη” όμως μόνη της η λογική» (σ.σ.: Από γράμμα του Πάουλι της 19. Φεβρουαρίου 1949 στον ως άνω συνάδελφό του).
8. Η φαντασιώδης (imaginäre) ενότητα στα μαθηματικά.
Ένα εξαιρετικό παράδειγμα για ένα μαθηματικό σημείο με δύναμη συμβόλου είναι η φαντασιώδης ενότητα i (i ² = -1) . Φαντασιώδεις αριθμοί εισήχθησαν για πρώτη φορά, όμως μόνο «με την υπερνίκηση πνευματικών βασάνων», απ’ τον Τζιρόλαμο Καρντάνο (Girolamo Cardano – 1501-1576) με το όνομα «quantitas sophistica» («σοφιστικές ποσότητες»). Υπολόγισε κανείς στη συνέχεια, χωρίς να ανησυχήση πολύ για τη φύση των φαντασιωδών και συμπλεγματικών αριθμών, ζωηρά κι ελεύθερα μ’ αυτούς, έφτασε σε χρήσιμους υπολογιστικούς κανόνες, εκπλήττονταν όμως, ότι μπορούσαν να παραχθούν μαθηματικώς χρήσιμα αποτελέσματα μ’ αυτόν τον τρόπο. Θεωρούνταν εκ τούτου για πολύν καιρό ως «απαράστατοι», «φανταστικοί» μόνο, ως «φαντασιώδη» μεγέθη οι εκφρασμένοι με τη μορφή √ - α, α › Ο αριθμοί. Τους χαρακτηρίζει τέρατα και αμφίβια μεταξύ είναι και μη είναι (ύπαρξης και ανυπαρξίας) ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646-1703). Ο χαρακτηρισμός του √ - 1 ως φαντασιώδη ενότητα i εισήχθη το 1777 απ’ τον Όιλερ (Euler) και έγινε αργότερα κοινό αγαθό (κοινός τόπος;) των μαθηματικών με τον Γκάους (Gauss).
Η γεωμετρική παράσταση των συμπλεγματικών αριθμών μέσω των σημείων του επιπέδου και η γεωμετρική δια παραδειγμάτων εξήγηση των υπολογιστικών πράξεων συνδέεται με τα ονόματα των John Wallis (1616-1703), Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) και Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Αυτή η γεωμετρική εξήγηση έθεσε σιγά-σιγά κατά μέρος τη δυσπιστία των μαθηματικών απέναντι στους φαντασιώδεις αριθμούς και βοήθησε έτσι το ξέσπασμα των συμπλεγματικών αριθμών. Η προτιμητέα σήμερα στην εκπαίδευση αλγεβρική εισαγωγή συμπλεγματικών αριθμών α + iβ με ένα ζεύγος ( α, β ) πραγματικών αριθμών α και β ανάγεται στον William Rowan Hamilton (1805-1865) . Σύμφωνα προς τους απλούς υπολογιστικούς κανόνες του Hamilton με αριθμητικά ζεύγη, παίζει το ( 1, 0 ) = 1 τον ρόλο του Ενός, και το ( 0,1 ) = i τον ρόλο της φαντασιώδους ενότητας (μονάδας) i , η οποία λόγω του ( 0,1 ) ² = ( - 1,0 ) στην εξίσωση i ² + 1 = 0 επαρκεί. Είναι έτσι όλα τυπικώς κρυστάλλινα. Λέει σ’ αυτό ο Alfred North Whitehead:
«Πολλοί μαθηματικοί δεν είχαν τότε εντελώς σαφή αντίληψη για το λογικό δικαίωμα της ενέργειάς τους, και διαδόθηκε η ιδέα, ότι μπορούσαν να εκφέρουν κατά έναν οποιονδήποτε μυστηριώδη τρόπο μέσω κατάλληλου χειρισμού άλογα σημεία τις έγκυρες αποδείξεις για μαθηματικές προτάσεις. Καμμιά μεγαλύτερη παρανόηση απ’ αυτό! Ένα σύμβολο, του οποίου δεν έχει οριστή ακριβώς η έννοια, δεν είναι γενικώς σύμβολο. Είναι απλώς μια πιτσιλιά μελάνι πάνω στο χαρτί, που διαθέτει μιαν εύκολα αναγνωρίσιμη μορφή. Δεν μπορεί όμως να αποδείξη κανείς τίποτα με μια σειρά από πιτσιλιές μελάνι, εκτός απ’ την ύπαρξη μιας κακής πένας ή ενός αμελούς (αδιάφορου) γραφέα».
Αυτό είναι φυσικά σωστό, δεν είναι ωστόσο πλήρως επιτυχές. Ο Whitehead κατανοεί ως ένα σύμβολο ένα απλό σημείο. Κατά τον Γιουνγκ είναι όμως ένα σημείο «πάντα λιγότερο σημαντικό απ’ την έννοια, για την οποίαν υπάρχει, ενώ ένα σύμβολο περιέχει πάντα περισσότερα, απ’ όσα μπορεί ν’ αντιληφθή κανείς με την πρώτη ματιά». Καταλαβαίνουμε σήμερα καλά διανοητικά τον υπερβολικά σημαντικό ρόλο των συμπλεγματικών αριθμών στα μαθηματικά (θεμελιώδης πρόταση της άλγεβρας˙ ελευθερία αντίφασης, αλγεβρική αποκλειστικότητα, πληρότητα και μοναδικότητα του σώματος των συμπλεγματικών αριθμών), το οποίο δεν υπονοεί κατά κανέναν τρόπο όμως, ότι η φαντασιώδης ενότητα δεν είναι και ένα εμφορούμενο σημασίας σύμβολο, με την έννοια τυχόν του Γιουνγκ ως «έκφραση ενός πράγματος που δεν μπορεί να χαρακτηριστή με κάποιον άλλον τρόπο καλύτερα». ‘Ένα σύμβολο δεν υπάρχει μόνο για ένα πράγμα, αλλά είναι το πράγμα. Μπορεί π.χ. να αποδείξη σήμερα κάθε φυσικός επιστήμων χωρίς κανέναν κόπο την εκπληκτική υπόθεση του Euler απ’ το 1728
Παρ’ όλο που ο αλγεβρικός ορισμός της φαντασιώδους ενότητας i = √ - 1 δεν αφήνει ανοιχτές κανενός είδους επιθυμίες, δεν κατέχουμε τα συμπεράσματα της χρήσης συμπλεγματικών αριθμών στη μαθηματική έρευνα κατά κανέναν τρόπο καλώς. Ακόμα κι οι καλύτεροι μαθηματικοί έχουν πάντα μια μόνον αποσπασματική, εντελώς ουσιαστικά ατελή επισκόπηση πάνω σ’ αυτόν τον κόσμο των ιδεών. Το συμπλεγματικό αριθμητικό σύστημα είναι ασύλληπτα δραστικό. Οδηγεί έτσι π.χ. η θεωρία των συμπλεγματικών αναλυτικών συναρτήσεων πάλι και πάλι σε ουδέποτε προηγουμένως υποτεθείσες απόψεις και συνδέει μαθηματικές επιμέρους περιοχές, που δεν έχουν φαινομενικά καμμιά δουλειά αναμεταξύ τους. Ένα διάσημο παράδειγμα είναι ενδεχομένως η συνάρτηση Ζήτα ζ του Riemann , μια αναλυτική συνάρτηση z ׀ → ζ ( z ) των συμπλεγματικών μεταβλητών z = x + iy , η οποία μπορεί να ορισθή με τη συγκλίνουσα στο ημιεπίπεδο x > 1 σειρά
όπου το γινόμενο εκτείνεται πέρα απ’ όλους τους πρώτους αριθμούς p . Προκύπτει έτσι ένας εντελώς αναπάντεχος συνδυασμός μεταξύ της θεωρίας των φυσικών αριθμών και της θεωρίας των συμπλεγματικών αναλυτικών συναρτήσεων. Κυριαρχεί στην πραγματικότητα η συνάρτηση Ζήτα του Riemann κατά μυστηριώδη τρόπο τη θεωρία των φυσικών αριθμών, όπως την κατανομή ας πούμε των πρώτων αριθμών. Είναι ισοδύναμη π.χ. η σειρά (το σύνολο) των πρώτων αριθμών με το ότι ζ ( 1 + iy ) ≠ 0 . Θα εκπλαγή όχι μόνον ο αρχάριος, αλλά κι ο σκεπτικός μαθηματικός: γιατί πρέπει να εισάγη κανείς, αν θέλη να εννοήση τους πρώτους αριθμούς, τη φαντασιώδη ενότητα i = √ - 1 ;
(συνεχίζεται)
Aμέθυστος
4 σχόλια:
Αμέθυστε
μεχρι σημερα πιστευα οτι ειχες σπουδασει Θεολογια...
..οτι μαλλον πρεπει να εχεις βγει στην σύνταξη..
...και δημιουργησες αυτο το πολυ ωραιο ιστολογιο σου.
Τωρα ομως...μας δείχνεις οτι εχεις σπουδασει και Μαθηματικά;
Δηλ ησουνα Καθηγητης Μαθηματικων στο Παν/μιο...και τα θεολογικά ητανε το 'χόμπυ' σου?
Μπερδεύτηκα...δεν μπορω να σε ψυχολογήσω
Μυρμιδόνας
Φίλε Μυρμιδόνα θα σέ απογοητεύσουμε. Θά μπορούσαμε να πούμε είμαστε περιθωριακοί τύποι, υπολείμματα τής Βυζαντινής μας εποχής. Αυτά πού γνωρίζουμε ακολούθησαν τίς εμπειρίες τής ζωής μας καί τής αληθινής ζωής μας. Παρόλα αυτά τάχουμε τα χρονάκια μας αλλά δέν είμαστε ακόμη γέροι-γέροι.
Ανώνυμο @ 8:58
Τς, τς... Μάλλον εμείς είμαστε οι μαζόχες αγαπητή μου! :-)
Πέρα απ΄ τ΄ αστεία, είναι πολύ ενδιαφέρουσα αυτή η ενότητα που ανέβασε ο αμέθυστος και περιμένουμε τη συνέχεια!
Και μια σχετική βιβλιογραφική πρόταση για όσους έχουν χρόνο και διάθεση να μπουν στο κλίμα μέσα από μια καλογραμμένη βιογραφία ενός ιδιοφυούς μαθηματικού: « ο ρώσος μαθηματικός Γκρίσα Πέρελμαν» της Masha Gessen από τις εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ
Ανώνυμε
Ναι, αυτός είναι. Το βιβλίο δεν έχει ΟΥΤΕ ΜΙΑ εξίσωση! Feeling better now? :) Δεν θα το μετανιώσεις. Αν ωστόσο γίνει κάτι τέτοιο, αναλαμβάνω το κόστος της αγοράς!
Το μαθηματικό τραύμα είναι ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα. Το είχα και 'γω. Έκανα κάτι απλό. Ζήτησα από ένα φίλο μαθηματικό να μου τα εξηγήσει όλα ξεκινώντας από το 1+1,(!) διορθώνοντας το σχολικό τραύμα. Έκανα μόνος μου την επανάληψη και με βοηθούσε όπου δεν καταλάβαινα κάτι. Πέτυχε! Δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο! Η κύρια δυσκολία μου ήταν να παραδεχτώ ότι έπρεπε να ξεκινήσω από το 1+1.
Χαίρε!
Δημοσίευση σχολίου