MARIE-DOMINIQUE RICHARD: Η ΠΡΟΦΟΡΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ (21)

 Συνέχεια απόΔευτέρα, 12 Ιουνίου 2017

                

                          Μια νέα ερμηνεία του πλατωνισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3^Ο : ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΠΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Β. Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ι. Η ΓΕΝΕΣΗ ΤΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

1. Αριστοτελικές αναφορές της θεωρίας των ιδανικών Αριθμών

    

Θα προσεγγίσουμε τώρα την θεωρία των ιδανικών Αριθμών. Ο Αριστοτέλης άσκησε έντονη κριτική, χωρίς όμως να αναπτύξει ποτέ λεπτομερώς την πλατωνική θεωρία σύμφωνα με την οποία οι Ιδέες είναι Αριθμοί. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο οι ερμηνευτές του Πλάτωνα δεν κατόρθωσαν να διαφωτίσουν οριστικά αυτό το ζήτημα. Σύμφωνα με τον K. Gaiser,  μπορούμε τουλάχιστον να αναδείξουμε το βαθύτερο νόημά του, εκμεταλλευόμενοι την στενή σχέση που υφίσταται ανάμεσα στην αριθμητική και τη γεωμετρία στα ελληνικά μαθηματικά γενικότερα, και στην πλατωνική οντολογία ειδικότερα.

     Έτσι, σύμφωνα με την αναλογία που καθιέρωσε ο Πλάτων ανάμεσα στη δομή των συνεχών μεγεθών και την δομή της πραγματικότητας, η προτεραιότητα των αριθμών απέναντι στα συνεχή μεγέθη ανήκει αναγκαία στην οντολογική τάξη. Θα πρέπει επομένως να επιλέξουμε ανάμεσα στους αριθμούς ως «πρότερους» των άλλων, αυτούς που έχουν ρόλο ρητής αρχής στην σύσταση των συνεχών μεγεθών. Όπως ήδη γνωρίζουμε, σύμφωνα με διάφορες μαρτυρίες, αυτοί οι αριθμοί είναι το 1 το 2 το 3 και το 4. Τούτο σημαίνει ότι οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί περιλαμβάνουν γεωμετρικά σχήματα σε μια «προ-κοσμική» μορφή. Και σημαίνει επίσης ότι η δομή του αριθμητικού σύμπαντος μπορεί να προκύψει από αυτήν των συνεχών μεγεθών – όπως ακριβώς και η μορφή του προτύπου προκύπτει από αυτήν του αντιγράφου του.

     Η προοπτική αυτή μας επιτρέπει να διακρίνουμε στους τέσσερις πρώτους αριθμούς την καθαρότερη, την αρχική, την πλέον χαρακτηριστική και την γενικότερη έκφραση της δομής των διαστάσεων, και την «Επιτομή» της έννοιας της έκτασης.

     Πριν εξετάσουμε αν τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της θεωρίας των ιδανικών Αριθμών αποκτούν όντως πλήρες νόημα στο φως της αναλογίας ανάμεσα στους τέσσερις πρώτους αριθμούς και τα γεωμετρικά σχήματα, θα σκιαγραφήσουμε το περιεχόμενο των αριστοτελικών αναφορών στις οποίες ο γερμανός ερευνητής βασίζει την επιχειρηματολογία του.

     Όπως προκύπτει από αρκετά αποσπάσματα των Μεταφυσικών, οι Αριθμοί εκπορεύονται από δύο αρχές, το Εν και την αόριστη Δυάδα. Η πρώτη αρχή ενεργεί ως «Εν», δηλαδή ως αιτία ενότητας και προσδιορισμού κάθε αριθμού. Η δεύτερη αρχή αντίθετα, ενεργεί ως «αόριστη Δυάδα», ή ακόμη ως αιτία πολλαπλότητας και διαφοροποίησης των αριθμών. Ο Αριστοτέλης αποκαλεί συγκεκριμένα «εξισωτική» την ενέργεια του Ενός επί του εις το άπειρον εξελισσόμενου ζεύγους του μέγιστου και του ελάχιστου που συνιστά την αόριστη Δυάδα. Έτσι για παράδειγμα, ο πρώτος άρτιος αριθμός, το ιδανικό Δύο γεννάται δια της εξισώσεως από το Εν – που αποτελεί την αρχή δύο άνισων συνόλων τα οποία συνυπάρχουν μέσα σε αυτό. Αλλά παρότι η αόριστη Δυάδα αποτελεί τη βάση στην οποία εντυπώνεται το Εν, η δεύτερη αρχή δεν περιορίζεται σε έναν καθαρά παθητικό ρόλο ως προς την παραγωγή των αριθμών. Η πραγματικότητα είναι ότι η αόριστη Δυάδα καθιστά όμοιο με αυτήν οτιδήποτε δέχεται, διότι είναι ουσιαστικά μια «διπλασιαστική ενέργεια». Για τούτο και ο Αλέξανδρος δεν διστάζει να αποδώσει με τις έννοιες «σφραγίδα» και «αποτύπωμα» τον όρο εκμαγείο που χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης για να προσδιορίσει τον τρόπο λειτουργίας της Δυάδας στην γένεση των Αριθμών.

     Στο απόσπασμα Α 6, 983b 33 κ. επ. των Μεταφυσικών, ο Αριστοτέλης δηλώνει:

     Εάν εξ άλλου αυτός (ο Πλάτων) θεωρεί την αόριστη Δυάδα ως δεύτερη φύση, τούτο οφείλεται στο ότι οι Αριθμοί, εξαιρουμένων των πρώτων (Αριθμών), γεννώνται ευχερώς από την Δυάδα (…)

     Η έκφραση έξω των πρώτων, δημιουργεί πρόβλημα: ο Αλέξανδρος την ερμηνεύει αποδίδοντας στο πρώτοι το νόημα των περιττών αριθμών. Η ερμηνεία αυτή όμως δεν κρίθηκε ικανοποιητική διότι είναι δύσκολο να πιστέψουμε ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί εξαιρούνται από την γενετική διαδικασία. Και όταν ο Αριστοτέλης δηλώνει: «οι πλατωνικοί δεν αναφέρονται στη γένεση του Περιττού», «Περιττό» εννοεί το Εν ως αρχή της Αυτοδυναμίας, όπως μαρτυρεί το ακόλουθο απόσπασμα: « (…) το Εν διακρίνεται από την Δεκάδα ως προς το ότι δεν υφίσταται γένεση του Ενός ως αρχής, ενώ υπάρχει γένεση της Δεκάδας». Θα πρέπει επομένως να απορρίψουμε την ερμηνεία του σχολιαστή. Αν αντίθετα ακολουθήσουμε τα παράλληλα κείμενα μπορούμε να ερμηνεύσουμε την έκφραση έξω των πρώτων ως «εκτός από τους πρώτους Αριθμούς».

     Η ακολουθία των ιδανικών Αριθμών δεν είναι αντίστοιχη με την διαδοχική αναλογία των μαθηματικών Αριθμών, δηλαδή μια απεριόριστη αναλογία, αλλά περατώνεται στην Δεκάδα. Η Δεκάδα είναι ο τέλειος αριθμός διότι ως άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών (1 + 2 + 3 + 4 = 10) περιλαμβάνει την Τετρακτύς.

     Επειδή όμως ο αριθμός των διαφορετικών γενών και των διαφορετικών ειδών των ζώντων ξεπερνά κατά πολύ τον αριθμό δέκα, θα πρέπει να συμπεράνουμε ότι για τον Πλάτωνα οι Αριθμοί της Δεκάδας συνιστούν μόνο τις γενικότερες αιτίες της πραγματικότητας. Σύμφωνα με τον K. Gaiser,  οι πολυάριθμες ιδιαίτερες Ιδέες προκύπτουν από μια καθορισμένη μαθηματική διαδικασία, έτσι που όλες οι Ιδέες μπορούν να χαρακτηριστούν δια των αριθμών.

     Ανάμεσα στις ουσίες που περικλείει η Δεκάδα, ο Αριστοτέλης περιλαμβάνει και τα Μεγέθη:

     Επιπλέον, τα Μεγέθη και οι έννοιες αυτού του είδους, δεν ξεπερνούν, κατ’ αυτούς, τα όρια της αριθμητικής Δεκάδας: πρώτα έρχεται η μονάδα, η άτμητη γραμμή, κατόπιν η γραμμική Δυάδα, και ακολουθούν τα υπόλοιπα Μεγέθη, μέχρι την Δεκάδα. Μεταφ. Μ 8, 1084b 1-12).

     Σε αντίθεση με τους μαθηματικούς αριθμούς, οι ιδανικοί Αριθμοί είναι ατομικές ουσίες και για τούτο μη συμπληρωματικοί (ασύμβλητοι). Ο Αριστοτέλης επιμένει σε αυτό το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των ιδανικών Αριθμών, διότι η κριτική που μας παρέδωσε, κατά της θεωρίας του δασκάλου του, βασίζεται κατ’ ουσίαν στην έννοια των μαθηματικών αριθμών, οι οποίοι σχηματίζονται από μονάδες που δεν διαφέρουν μεταξύ τους και επομένως μπορούν να προστίθενται.

     Τέλος, ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί τους όρους μείξις, θέσις, κράσις και γένεσις για να προσδιορίσει την γένεση των αριθμών, και μερικές φορές αναφέρεται στην «τοποθέτηση» ή την «θέση» των ιδανικών Αριθμών μέσα σε μια ομοιογενή δομή.

     Αυτά είναι επομένως τα χαρακτηριστικά των ιδανικών Αριθμών σύμφωνα με τις αριστοτελικές αναφορές.

2. Η «αριθμο-γεωμετρική» ερμηνεία της γένεσης των ιδανικών Αριθμών

     Ας έρθουμε τώρα τον τρόπο δημιουργίας των ιδανικών Αριθμών. Σύμφωνα με τον K. Gaiser,  ξεκινώντας από το γεγονός ότι η δομή των αριθμών είναι ανάλογη με αυτή των διαστάσεων, θα πρέπει να αναζητήσουμε τις αριθμητικές σχέσεις που καθορίζουν τις σχέσεις των διαστάσεων (γραμμή-επίπεδα- στερεά). Για να τις ανακαλύψουμε αρκεί να καθορίσουμε το ήμισυ ή το διπλάσιο του μήκους καθενός από τα βασικά σχήματα: της γραμμής, του τριγώνου και της πυραμίδας. Οι πλευρές του τριγώνου για παράδειγμα διχοτομούνται  αμοιβαία σύμφωνα με τη σχέση 3 προς 2. Όπως θα δούμε αυτή η διαδικασία αναδεικνύει τις μορφές που παρουσιάζουν οι ιδανικοί Αριθμοί.

     Αφ’ ενός η Δυάδα διατηρεί την διπλασιαστική της ιδιότητα, και το Εν εξακολουθεί να ασκεί την εξισωτική του επιρροή.

     Στη συνέχεια, οι σχέσεις που προκύπτον δεν ξεπερνούν το όριο της Δεκάδας, και αντιστοιχούν στους αριθμούς 2, 3, 4, 6, 8 και 9, δηλαδή στους δέκα πρώτους αριθμούς, με εξαίρεση το 5 κι το 7, που θα μπορούσαν να αντιπροσωπεύσουν ακριβώς τους «πρώτους αριθμούς», τους οποίους ο Αριστοτέλης είχε εξαιρέσει από την γενετική διαδικασία.

     Αφ’ ετέρου οι αριθμοί διαδέχονται οι μεν τους δε σύμφωνα με την τάξη του Πρότερου και του Ύστερου, και τούτο σύμφωνα με την εξέλιξη των διαστάσεων στο χώρο, ξεκινώντας από την γραμμή και φτάνοντας στα στερεά σχήματα. Έτσι ερμηνεύεται και ο ισχυρισμός του Αριστοτέλη κατά τον οποίο οι ιδανικοί Αριθμοί ανήκουν στην τάξη των πραγμάτων μεταξύ των οποίων υπάρχει το Πρότερο και το Ύστερο.

     Εξ άλλου, όπως ακριβώς τα γεωμετρικά μεγέθη προσχηματίζονται στον κόσμο της αριθμητικής, κατά τον ίδιο τρόπο το απροσμέτρητο των μεγεθών προσχηματίζεται στο ασύμβλητο των αριθμών. Έτσι, στα κανονικά σχήματα (όπως τα ισοσκελή τρίγωνα), τα πλευρικά τμήματα δεν έχουν κοινό μέτρο με την επιφάνεια. Και επειδή μεταξύ των αριθμών υπάρχουν διαφορετικές αναλογίες από αυτές που υπάρχουν μεταξύ των διαστάσεων, οι μονάδες των ιδανικών Αριθμών δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες μεταξύ τους.

     Τέλος, η ανάλυση αυτή επιτρέπει επίσης την κατανόηση του γιατί οι Ιδέες είναι προϊόν μείξης, και γιατί θα πρέπει να ορίζονται ανάλογα με τη θέση τους μέσα σε μια συγκεκριμένη δομή.

     Η αριθμο-γεωμετρική ερμηνεία της πλατωνικής θεωρίας περί της γένεσης των ιδανικών Αριθμών μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική διότι εντάσσεται πλήρως στην οντολογία του Πλάτωνα. Οι Αριθμοί κατέχουν την κορυφή της ιεράρχησης του Όντος και συνιστούν ένα κόσμο που ρυθμίζεται σύμφωνα με σχέσεις που κατέχουν πρωτεύοντα ρόλο στο χώρο των συνεχών μεγεθών. Για τον Πλάτωνα, η διαστατική ακολουθία – από τους Αριθμούς μέχρι τα στερεά, μέσω των γραμμών και των επιπέδων – συμπίπτει με την ιεράρχηση του Όντος, από τον νοητό μέχρι τον αισθητό κόσμο, μέσω του ενδιάμεσου κόσμου. Γι’ αυτό ακριβώς το λόγο οι Αριθμοί μπορούν να ορίζονται ως «Ιδέες»: όπως ακριβώς οι τέσσερις πρώτοι αριθμοί περιέχουν την έκταση, οι υπόλοιποι αριθμοί ενεργούν επίσης ως συστατικές αρχές των μορφών της δόμησης του αισθητού κόσμου.

     Η προέκταση των σχέσεων, των ιεραρχήσεων και των εντάσεων που επικρατούν τόσο στο χώρο της αριθμητικής όσο και σ’ αυτόν της γεωμετρίας κατέστησαν δυνατή την συστηματική ανάδειξη από τους Αριθμούς της Δεκάδας των διαφορετικών ειδών των όντων: οι αριθμητικές σχέσεις που επιδρούν αποφασιστικά στην ακολουθία των διαστάσεων απεικονίζουν τις ουσιαστικές δομές του πραγματικού που μπορούμε να συλλάβουμε με μαθηματικούς όρους. Πρόκειται ασφαλώς για μία μόνο όψη του Όντος. Αλλά αυτή ακριβώς η όψη είναι που καθιστά δυνατή την ακριβέστερη περιγραφή και την πληρέστερη κατανόηση του σύμπαντος.

     Η μείωση των αισθητών Πραγμάτων στους Αριθμούς δε αποτελεί μια απλή αφαίρεση, αλλά μια ακραία συμπύκνωση του περιεχομένου της πραγματικότητας. Οι «λόγοι» για τον Πλάτωνα, απαρτίζουν ουσίες ταυτόσημες πάντοτε με τον εαυτό τους, και κατά συνέπεια εκφράζουν το πραγματικό Είναι, μέσα στη ροή και την ποικιλία των αισθητών Πραγμάτων. Η δομή του πραγματικού κορυφώνεται μέσα σε έναν μαθηματικό κόσμο, διαρθρωμένο από «λόγους» – ένα κόσμο που αποτελεί την σαφέστερη έκφραση της διαστατικής ακολουθίας, και δι’ αυτής όλων των πραγμάτων.

(συνεχίζεται)