Giovanni Reale - ΠΛΑΤΩΝ (51)

Συνέχεια από: Τρίτη 5 Αυγούστου 2025

Giovanni Reale 

ΠΛΑΤΩΝ

VΙIΙ

ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΜΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ «ΝΑ ΜΗΝ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ»

Ιδανικοί αριθμοί

Ενδιάμεσες μαθηματικές οντότητες

Αριθμητική, γεωμετρία

Ο ουσιώδης ρόλος τους στη σκέψη του Πλάτωνα και στα εκπαιδευτικά προγράμματα της Ακαδημίας

Η Ακαδημία έδωσε μια αποφασιστική ώθηση στη γεωμετρία με την Ευκλείδεια έννοια

ΜΟΝΟ ΠΡΟΣΦΑΤΑ ΑΝΑΔΕΙΧΘΗΚΕ η σημασία που είχε η Ακαδημία στην ιστορία της γεωμετρίας, και συγκεκριμένα ο σημαντικός ρόλος που έπαιξε στην εδραίωση αυτής της επιστήμης με την έννοια που θα της δώσει οριστική μορφή ο Ευκλείδης.

Ειδικότερα, ήταν αποφασιστική η ανακάλυψη του Ίμρε Τοθ (Imre Toth), ο οποίος βρήκε στο Corpus Aristotelicum την παρουσία δεκαοκτώ αποσπασμάτων που περιέχουν θραύσματα και ίχνη γεωμετρίας που σήμερα θα χαρακτηριζόταν «μη ευκλείδεια».

Τα ίχνη που υπάρχουν σε αυτά τα αποσπάσματα αφορούν το πρόβλημα των παραλλήλων και το ζήτημα του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου.

Σε εκείνα τα αποσπάσματα ο Αριστοτέλης κάνει σαφές ότι στην Ακαδημία, όπου είχε παραμείνει για είκοσι χρόνια, υπήρχαν ζωηρές συζητήσεις σχετικά με την αρχή των παραλλήλων (αυτήν που θα διατυπωθεί στο πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη), με αποτυχημένες προσπάθειες απόδειξής της, και με την επακόλουθη κατάληξη στην οποία οδηγήθηκαν, δηλαδή ότι αυτή δεν είναι αποδείξιμη και γίνεται αποδεκτή ως ελεύθερη επιλογή. Ο Αριστοτέλης συνδέει στενά με την αρχή των παραλλήλων το ζήτημα του αθροίσματος των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, που προκύπτει ίσο με δύο ορθές γωνίες, μόνο αν γίνει δεκτό αυτό που θα είναι το πέμπτο αξίωμα· ενώ, αν δεν γίνει δεκτή εκείνη η αρχή, το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες: για παράδειγμα, αν το τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από δύο ορθές, τότε «οι παράλληλες τέμνονται» (Βλ. Αριστοτέλη, Αναλυτικά Πρότερα, 65 a 4-7). 

Στα Αναλυτικά Πρότερα διευκρινίζει:

Δεν υπάρχει τίποτα το παράδοξο στο ότι ένα και το αυτό συμπέρασμα προκύπτει από πολλές υποθέσεις. Για παράδειγμα, δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη ότι δύο ευθείες παράλληλες τέμνονται, είτε στην περίπτωση που η εσωτερική γωνία προκύπτει μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εξωτερική, είτε στην περίπτωση που το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου υπερβαίνει τις δύο ορθές γωνίες (Αριστοτέλη, Αναλυτικά Πρότερα, 66 a 11-15).

Ο Ιταλός αναγνώστης έχει τώρα στη διάθεσή του το βιβλίο που συνέγραψε ο Τόθ κατόπιν δικής μου προτροπής: “Ο Αριστοτέλης και τα αξιωματικά θεμέλια της γεωμετρίας”. Προλεγόμενα στην κατανόηση των μη-ευκλείδειων αποσπασμάτων στο Corpus Aristotelicum (Αυτό το βιβλίο προτάθηκε από εμένα και μεταφράστηκε από τον E. Cattanei, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1997), στο οποίο παρουσιάζονται με εξαίρετο τρόπο τα αποτελέσματα των ερευνών του, με τις συνέπειες που απορρέουν από αυτά.

Λοιπόν, ενώ στον Αριστοτέλη υπάρχουν δεκαοκτώ αποσπάσματα στα οποία διαπιστώνονται αυθεντικά «απολιθώματα» έμμεσων προσπαθειών επίλυσης του προβλήματος των παραλλήλων, στον Πλάτωνα ανευρίσκονται μόνο υποτονικές νύξεις, μόνο κάποιες αμυδρές αναφορές. Ο λόγος αυτού είναι προφανής: ο Αριστοτέλης, ως εμπειρικός παρατηρητής, κάνει αναφορά σε εκείνες τις έννοιες με φόντο τις αβεβαιότητες των σχετικών συζητήσεων στην Ακαδημία· ενώ ο Πλάτων, πολύ πιο οξυδερκής και δημιουργικός στον τομέα αυτό, είχε ήδη κάνει μια σαφή επιλογή με «ευκλείδεια» κατεύθυνση, με όλα όσα αυτό συνεπάγεται, όπως αποδεικνύεται από τις μεγάλες συνεισφορές που προσέφεραν στις ακαδημαϊκές συζητήσεις μαθηματικοί του διαμετρήματος του Θεαίτητου και του Εύδοξου.

Ο Hösle γράφει δικαίως: «Εκ των προτέρων είναι αρκετά πιθανό ότι τα γεωμετρικά δεδομένα που υπάρχουν στον Αριστοτέλη ανάγονται στα χρόνια που πέρασε στην Ακαδημία (367–347 π.Χ.): ας ληφθεί υπόψη ότι στα μαθηματικά, σε αντίθεση με σχεδόν όλες τις άλλες επιστήμες, ο Αριστοτέλης δεν παρήγαγε ο ίδιος κανενός είδους πρωτότυπη συνεισφορά (δεν συνέβαλε προσωπικά με κανένα πρωτότυπο έργο), και ότι η Ακαδημία ήταν το κέντρο της μαθηματικής έρευνας εκείνης της εποχής, στο οποίο τέθηκαν οι βάσεις για τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Προς τούτο, πρέπει να υπενθυμιστούν τρία πράγματα: η επεξεργασία των άρρητων αριθμών από τον Θεαίτητο, η οποία βρίσκεται στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων· η συστηματική ανάλυση, επίσης από τον Θεαίτητο, των κανονικών στερεών, η οποία βρίσκεται στο δέκατο τρίτο βιβλίο· και η θεμελίωση από τον Εύδοξο της γενικής θεωρίας των αναλογιών, η οποία εμφανίζεται στο πέμπτο βιβλίο, το οποίο, χάρη στην ακρίβεια με την οποία εξετάζεται το απειροστικό, καταδεικνύει ένα επίπεδο που επιτεύχθηκε εκ νέου μόνο από τον Ντέντεκιντ (Dedekind)»(V. Hösle, I fondamenti dell'aritmetica e della geometria in Platone, σσ. 113-114).

Αλλά ο Hösle προχωρεί πέρα από αυτό. Όπως γνωρίζουμε, το Ένα και η Αόριστη Δυάδα του μεγάλου και του μικρού, ακριβώς επειδή είναι πρώτες και υπέρτατες αρχές, είναι θεμελιώδεις για ολόκληρη την πραγματικότητα, χωρίς εξαιρέσεις: όπως έχουμε δει, από αυτές προέρχονται οι Αριθμοί και οι Ιδεατές Μορφές, και επομένως και τα μαθηματικά όντα. Λαμβάνοντας υπόψη πάντα τις μη αναστρέψιμες ανακαλύψεις του Τόθ και ακολουθώντας τις γραμμές που χάραξε ο Γκάιζερ (Gaiser), ο Hösle εξάγει τα εξής συμπεράσματα: «Με βάση έρευνες που υποκινήθηκαν από τον Πλάτωνα, πιθανότατα ο Λεοδάμας κατάφερε να διακρίνει την έλλειψη αυστηρότητας που υπάρχει στις αποδείξεις της πρότασης (του θεωρήματος) I 29 του Ευκλείδη που είχαν παραχθεί έως την εποχή του, και πείστηκε για την αναγκαιότητα να καλυφθεί αυτό το κενό με ένα μη αποδείξιμο αξίωμα· αυτό οδήγησε τη γεωμετρία σε μια ριζική κρίση θεμελίων, στην οποία φαίνεται ότι η προσφυγή στη διαίσθηση έπαιξε όχι ασήμαντο ρόλο. Φαίνεται ότι η συμβολή του Πλάτωνα, σε αυτήν τη δύσκολη συγκυρία, ήταν να επιμείνει σε μια έννοια γεωμετρίας αυστηρή, που απαρνείται τη διαίσθηση, και ως εκ τούτου είναι πολύ σύγχρονη, και να άρει την κρίση με μια οντολογική κατασκευή: η ευκλείδεια γεωμετρία, ως “γεωμετρία της ορθής γωνίας”, είναι η οντολογικά αληθής γεωμετρία. Υπό αυτό το φως, είναι εύλογο ότι ο υπεύθυνος για την κατάρρευση των πρώτων αντιευκλείδειων προσπαθειών, μέχρι την αναγέννησή τους τον δέκατο όγδοο και δέκατο ένατο αιώνα, ήταν ο Πλάτων. Δικαίως, λοιπόν, θα έπρεπε να αποκαλείται η ευκλείδεια γεωμετρία ‘πλατωνική γεωμετρία’»(V. Hösle, I fondamenti dell'aritmetica e della geometria in Platone, σσ. 136-137. Η υπογράμμιση δική μας)

Όμως, για να κατανοήσουμε καλά αυτά τα σημαντικά συμπεράσματα, και επομένως την επαναστατική εμβέλεια της πλατωνικής σκέψης σε όλα τα επίπεδα, χρειάζεται μια περαιτέρω διευκρίνιση. Η ορθή γωνία αντιστοιχεί στο ίσο καθ’ εαυτό, και επομένως σε αυτήν είναι καθοριστικό και υπερέχον το Ένα, ενώ η αντίθεση ανάμεσα σε αμβλείες και οξείες γωνίες, που μπορούν να γίνονται όλο και μεγαλύτερες ή όλο και μικρότερες, αντανακλά τη καθοριστική και κυρίαρχη λειτουργία που παίζει σε αυτές η αρχή αντίθετη προς το Ένα, δηλαδή η Αόριστη Δυάδα του μεγάλου και του μικρού!

Όπως είχε ήδη αποδείξει ο Μάρκοβιτς, αυτή η αναγωγή τεκμηριώνεται επαρκώς στην εσωτερική διδασκαλία του Πλάτωνα, δεδομένου ότι και η ύστερη αρχαιότητα είχε δώσει έμφαση σε αυτό. (Z. Marcovic, Η θεωρία του Πλάτωνα για το Ένα και την αόριστη δυάδα και τα ίχνη της στην ελληνική μαθηματική σκέψη, στο O. Becker, Zur Geschichte der griechischen Mathematik/Η ιστορία των ελληνικών μαθηματικών, Darmstadt 1965, σ. 308-318.)

Επομένως, οι «άγραφες διδαχές» του Πλάτωνα αποδεικνύονται μάλιστα ένα από τα καθοριστικά στοιχεία στην κατασκευή της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Και τότε, το ρητό από το οποίο ξεκινήσαμε: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω», είτε γράφτηκε είτε όχι πραγματικά στην πύλη της Ακαδημίας του Πλάτωνα, εκφράζει οπωσδήποτε ένα σύμβολο αληθινά εμβληματικό της σκέψης και του πνεύματος του Πλάτωνα.