Giovanni Reale - ΠΛΑΤΩΝ (Κεφάλαιο VΙΙΙ)

Συνέχεια από: VΙI Κεφάλαιο

Giovanni Reale 

ΠΛΑΤΩΝ

VΙIΙ

ΜΙΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΕΜΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΑ «ΝΑ ΜΗΝ ΕΙΣΕΛΘΕΙ ΟΠΟΙΟΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΗΣ»

Ιδανικοί αριθμοί

Ενδιάμεσες μαθηματικές οντότητες

Αριθμητική, γεωμετρία

Ο ουσιώδης ρόλος τους στη σκέψη του Πλάτωνα και στα εκπαιδευτικά προγράμματα της Ακαδημίας

Το ζήτημα της υποτιθέμενης επιγραφής που ήταν γραμμένη στην πύλη της Ακαδημίας του Πλάτωνα

ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΣΤΕΡΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ μας έχει φτάσει η είδηση ότι στην πύλη της Ακαδημίας του Πλάτωνα ήταν αναρτημένη αυτή η φράση ως επιγραφή: «Να μην εισέλθει όποιος δεν είναι γεωμέτρης» (ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ).

Αλλά οι πηγές είναι πολύ όψιμες (μεταγενέστερες) για να θεωρηθούν πραγματικά αξιόπιστες. Εκτός από τις πρώτες μαρτυρίες που ήταν γνωστές, οι οποίες προέρχονται ακόμα και από τη βυζαντινή περίοδο του δωδέκατου αιώνα, πρόσφατα εντοπίστηκαν και άλλες του έκτου αιώνα· και πιο πρόσφατα βρέθηκε μία αναφορά σε λόγο του αυτοκράτορα Ιουλιανού του 362. Όμως, στην παρούσα κατάσταση, είναι δύσκολο να αναχθούμε σε παλαιότερη μαρτυρία.

Ο H.D. Saffrey, ο οποίος μελέτησε καλά το πρόβλημα, καταλήγει στα εξής συμπεράσματα: «ο τύπος αυτής της υποτιθέμενης επιγραφής του Πλάτωνα στο αέτωμα της Ακαδημίας, είναι, ναι, στον πυρήνα της, εμπνευσμένος από τον Πλάτωνα και, στη μορφή της, μπορεί εύκολα να τοποθετηθεί στο πλαίσιο ορισμένων συνηθειών της ελληνικής ζωής. Επομένως, αν η πλήρης απουσία οποιασδήποτε αρχαίας μαρτυρίας μάς εμποδίζει να πιστέψουμε στην ιστορική πραγματικότητα μιας επιγραφής που τοποθετήθηκε από τον ίδιο τον Πλάτωνα, πρέπει να παραδεχτούμε ότι βρισκόμαστε μπροστά σε μια λογοτεχνική επινόηση απολύτως σύμφωνη με τη ρητορική της ελληνιστικής εποχής, η οποία φαντάστηκε παράλληλους θρύλους/μύθους [...]» (H.D. Saffrey, ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ, Une inscription légendaire, in «Revue des Études Grecques», 81 (1968), σελ. 71). Ο Saffrey παραδέχεται ότι, λαμβάνοντας υπόψη τη λακωνική μορφή της ρήσης, θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι κάποιος σχολάρχης του 2ου ή 3ου αιώνα την χάραξε στο υπέρθυρο κάποιας πύλης ως προγραμματική επιγραφή. Αλλά τονίζει ότι αυτή είναι μια καθαρή υπόθεση που δεν μπορεί να τεκμηριωθεί.

Ωστόσο, ακόμα κι αν η επιγραφή αποδειχθεί πως είναι μόνο μια ποιητική φαντασίωση δημιουργημένη από τους ρήτορες της ελληνιστικής εποχής, η ρήση εκφράζει με απολύτως τέλειο τρόπο το πρόγραμμα που ο Πλάτωνας εφάρμοζε στην Ακαδημία, όπως αποδεικνύεται από τα ακόλουθα αποσπάσματα της Πολιτείας. Αφού έχει αποδείξει πώς η επιστήμη των αριθμών βοηθά στην προσέγγιση του νοητού και στην ενατένιση της ουσίας, ο Πλάτωνας γράφει:

– Αλλά η λογιστική (η επιστήμη του υπολογισμού) και η αριθμητική ασχολούνται με τον αριθμό και εξετάζουν κατά βάθος όλες τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών.
– Βεβαίως.
– Και επομένως είναι φανερό ότι αυτές οδηγούν στην αλήθεια.
– Με εξαιρετικό τρόπο.
– Συνεπώς, αν δεν κάνω λάθος, είναι ανάμεσα σε εκείνες τις επιστήμες που αναζητούσαμε· πράγματι, από τη μία είναι ουσιώδεις για τον πολεμιστή για να τα χρησιμοποιεί στην τακτική ώστε να παρατάξει τον στρατό, από την άλλη είναι για τον φιλόσοφο, ώστε να προσεγγίσει την ουσία, βγάζοντας το κεφάλι έξω από τον κόσμο της γέννησης και του γίγνεσθαι. Αλλιώς, σε τι θα τον ωφελούσε η επιστήμη του υπολογισμού;
– Έτσι είναι, συμφώνησε. […]
– Θα ήταν καλό, αγαπητέ Γλαύκωνα, αυτό το μάθημα να καθιερωθεί με νόμο και όσοι επιδιώκουν τα ύπατα αξιώματα του Κράτους να πεισθούν να στραφούν στη μελέτη της επιστήμης του υπολογισμού (στη λογιστική) και να την προσεγγίσουν όχι για ταπεινά συμφέροντα, αλλά για να μπορέσουν, χάρη σ’ αυτήν, να φτάσουν μέχρι την καθαρή νόηση πάνω στη φύση των αριθμών· εν ολίγοις, δεν πρέπει να καλλιεργείται για να κρατά κανείς λογαριασμούς αγοραπωλησιών όπως θα έκανε ένας έμπορος ή μαγαζάτορας, αλλά για να διεξάγει πόλεμο και να διευκολύνει τη ριζική μεταστροφή της ψυχής από τον κόσμο του γίγνεσθαι προς εκείνον της αλήθειας και του όντος. (Πολιτεία, VII 525 A-C)

Και αφού μιλήσει για τη χρησιμότητα της γεωμετρίας στην πολεμική τέχνη, προσθέτει:

– Όμως για κάτι τέτοιο θα αρκούσαν ελάχιστες βασικές γνώσεις γεωμετρίας και επιστήμης του υπολογισμού. Αντίθετα, είναι το κυριότερο μέρος της, εκείνο που προχωρεί βαθύτερα, που πρέπει να διερευνηθεί για να δούμε αν δεν στοχεύει ακριβώς στο να κάνει πιο προσιτή τη θέαση της Ιδέας του Αγαθού. Και σε αυτόν τον στόχο, λέγαμε, αποσκοπούν από κοινού όλες εκείνες οι γνωστικές δραστηριότητες που αναγκάζουν την ψυχή να στραφεί προς τον κόσμο όπου βρίσκεται το τελειότερο (ευδαιμονέστατο) μέρος του όντος, το οποίο με κάθε τρόπο πρέπει να ενατενιστεί.
– Πολύ σωστά λες.
– Επομένως, αν η γεωμετρία μάς εξαναγκάζει να στραφούμε προς τον κόσμο των ουσιών, τότε μας ενδιαφέρει· αλλιώς, αν μας κατευθύνει προς τον κόσμο του γίγνεσθαι, δεν μας αφορά. […]
– Η γεωμετρία είναι επιστήμη εκείνου που πάντοτε είναι, και όχι εκείνου που κάποια στιγμή γεννιέται και κάποια άλλη στιγμή φθείρεται. (Η γεωμετρία είναι η επιστήμη του αιωνίως όντος, όχι του γίγνεσθαι).
– Πάνω σ’ αυτό το σημείο δεν μπορεί να υπάρξει διαφωνία: η γεωμετρία είναι γνώση του όντος που υπάρχει αιωνίως.
– Άρα, αγαπητέ φίλε, αυτή, σε σχέση με την ψυχή, είναι δύναμη που την έλκει προς την αλήθεια, είναι ερέθισμα για τη φιλοσοφική σκέψη να ανυψώσει εκείνο που τώρα, με τρόπο ανάρμοστο, κρατάμε χαμηλά στη γη (Πολιτεία, VII 526 D - 527 B).

Κατανοείται, λοιπόν, απόλυτα το εμβληματικό νόημα του ρητού: πράγματι, όποιος δεν κατανοούσε τη γεωμετρία δεν θα έπρεπε να εισέλθει στην Ακαδημία.

Αλλά με ποια έννοια η γεωμετρία και οι μαθηματικές επιστήμες είναι επιστήμες του όντως όντος και επιβάλλονται ως μια κινητήρια δύναμη που έλκει προς την αλήθεια;

ΣΧΟΛΙΟ  Η ΥΠΕΡΒΑΣΗ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΙΣΜΟΥ ΑΠΟ ΤΟΝ ΓΚΑΝΤΑΜΕΡ.

"Η θεωρία των ιδεών του Πλάτωνος δέν είναι μία θεωρία με την μοντέρνα σημασία του όρου, αλλά είναι μία πρόοδος πέραν, και μ'αυτή την σημασία, γίνεται κατανοητή σαν ένα πήγαινε πρός το Είναι.

 ο Χάιντεγκερ βλέπει στην θεωρία των ιδεών τού Πλάτωνος την πρώτη υπαίτιο για την λήθη τού Είναι

Ο Χάιντεγκερ όμως δέν κατανόησε ότι η Πλατωνική μορφή τού διαλόγου είναι καθοριστική καθαυτή. Πιστεύω ότι τα αποτελέσματα τής σκέψης τού Πλάτωνος δέν υπήρξαν ποτέ καθοριστικά. Ούτε στους γραπτούς του διαλόγους αλλά ούτε και στις προφορικές του συζητήσεις στο εσωτερικό τής σχολής.

"Ο Πλάτων με τις ερωτήσεις του ανοίγει τον δρόμο. Και ακριβώς σ'αυτό συνίσταται η αλήθεια της φιλοσοφίας. Ο ίδιος ο Νεοπλατωνισμός δέν προσφέρει την τελευταία λέξη. Είναι αλήθεια οπωσδήποτε ότι όλες οι μορφές γνώσεως κατευθύνονται πρός την γνώση τού αγαθού και αυτό πρέπει να το θυμάται πάντοτε ο άνθρωπος. Παρ'όλα αυτά, πρέπει να πούμε ότι η παρουσίαση του Αγαθού και η παντοδυναμία του Θεού εκφράζεται από τον Πλάτωνα μέσω μιάς ποιητικής εικόνος, εκείνης του ήλιου. Όμως το περιεχόμενο μίας ποιητικής εικόνος δέν μπορεί ποτέ να εξαντληθεί μέσω μίας εννοιολογικής εξηγήσεως, και επομένως η απάντηση η οποία δίνεται μέσω μίας εικόνος παραμένει πάντοτε ανοιχτή! Το μεγαλείο του Πλάτωνος βρίσκεται ακριβώς σ'αυτό: Οι μεγάλες του ερωτήσεις, όπως και οι απαντήσεις του, είναι καθοριστικές ακριβώς επειδή παραμένουν ανοιχτές".

 Και ο Αριστοτέλης είναι ένας Πλατωνικός. Για παράδειγμα η αριστοτελική φιλοσοφία της φρόνησης είναι Πλατωνική.

  Ο Γκάνταμερ ισχυρίζεται ότι εκείνη του Πλάτωνος δέν είναι τόσο μία "θεωρία" των ιδεών με την μοντέρνα σημασία, αλλά περισσότερο μία κατεύθυνση έρευνας, δηλαδή μία συζήτηση και μία ανάπτυξη τού έργου τής φιλοσοφίας, επικεντρωμένου στην διαλεκτική, η οποία είναι η τέχνη του καθορισμού εκείνου που εννοούμε με αυτό που σκεπτόμαστε και λέμε και η ικανότητα να συνεχίζουμε πάνω σ'αυτή την γραμμή.

Ιδεατοί αριθμοί και αριθμητική δομή των Ιδεών

ΓΙΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΟΥΜΕ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ που θέσαμε, πρέπει να αντιμετωπίσουμε το γενικό ζήτημα των «αριθμών» και των «γεωμετρικών σχημάτων», το οποίο ο Πλάτων θέτει και επιλύει με έναν ιδιαίτερα σύνθετο τρόπο, διακρίνοντας, αφενός, τους ιδεατούς αριθμούς και σχήματα, και άρα σε στενή σχέση με τις Ιδέες και με τις Αρχές, και, αφετέρου, τους αριθμούς και τα σχήματα στο μαθηματικό επίπεδο, το οποίο, όπως θα δούμε, συνιστά ένα οντολογικά «ενδιάμεσο» επίπεδο ανάμεσα στο νοητό και το αισθητό. Πρόκειται για ένα πολύ δύσκολο ζήτημα, αλλά που είναι πραγματικά αναγκαίο να αντιμετωπιστεί και να κατανοηθεί κατάλληλα, αν θέλουμε να κατανοήσουμε σε βάθος τη σκέψη του Πλάτωνα.

Ήδη έχουμε αναφέρει στο προηγούμενο κεφάλαιο το γεγονός ότι υπάρχουν σαφείς δεσμοί μεταξύ Αριθμών, Ιδεών και Αρχών. Ορισμένες αρχαίες πηγές μιλούν για ταύτιση μεταξύ Ιδεών και Αριθμών· αλλά, στην πραγματικότητα, πρόκειται για μια σχέση πολύ πιο σύνθετη, όπως θα δούμε, την οποία ο Πλάτων διερεύνησε πιθανόν από την εποχή της ίδρυσης της Ακαδημίας.

Το πρώτο σημείο που πρέπει να κατανοηθεί αφορά τη διάκριση ανάμεσα στους ιδεατούς Αριθμούς (και σχήματα) και τους μαθηματικούς αριθμούς (και σχήματα). Οι ιδεατοί Αριθμοί είναι εκείνοι που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε μεταφυσικούς αριθμούς: αυτοί εκπροσωπούν τις ίδιες τις ουσίες των μαθηματικών αριθμών. Ακριβώς ως τέτοιοι, οι ιδεατοί Αριθμοί δεν είναι «χειρίσιμοι», δηλαδή δεν μπορούν να υποβληθούν σε αριθμητικές πράξεις. Έχουν, συνεπώς, διαφορετικό οντολογικό καθεστώς από αυτό των μαθηματικών αριθμών, καθώς συνιστούν ακριβώς την ίδια την ουσία των αριθμών, και η ουσία των αριθμών δεν μπορεί να τροποποιηθεί μέσω πράξεων: δεν είναι δυνατό, για παράδειγμα, να προστεθεί η ουσία του δύο με εκείνη του τρία, ή να αφαιρεθεί από την ουσία του τρία η ουσία του δύο, και ούτω καθεξής.

Οι ιδεατοί Αριθμοί θεωρούνταν από τον Πλάτωνα ως οι «πρώτες παραγόμενες μορφές» από τις δύο πρώτες Αρχές. Αυτοί εκπροσωπούν με πρωτοτυπική μορφή, και συνεπώς παραδειγματική, εκείνη τη συνθετική δομή της ενότητας-μέσα-στην-πολλαπλότητα, που χαρακτηρίζει κάθε μορφή ύπαρξης σε όλα τα επίπεδα. Έτσι, το ιδεατό Ένα είναι ο πρώτος τυπικός καθορισμός της Αρχής, του Ένα-Αρχή, και το ιδεατό Δύο είναι ο πρώτος τυπικός καθορισμός της Δυάδας του μεγάλου και μικρού, η οποία καθορίζεται με ενέργεια του Ενός. Φαίνεται ότι οι ιδεατοί Αριθμοί για τον Πλάτωνα περιορίζονταν στην δεκάδα, ή εν πάση περιπτώσει εστιάζονταν σε αυτή, καθώς η δεκάδα είναι η μήτρα όλων των άλλων αριθμών.

Αλλά για να κατανοήσουμε τον λόγο για τον οποίο ο Πλάτων δεν ταύτιζε τις Ιδέες με τους Αριθμούς — κάτι που μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα — χρειάζεται να κατανοηθεί ότι ο ιδιαίτερος τρόπος με τον οποίο οι Έλληνες αντιλαμβάνονταν τον αριθμό διαφέρει σημαντικά από τον δικό μας, όπως έχει εξηγήσει καλά ο Ο. Toeplitz. [O. Toeplitz, Η σχέση των μαθηματικών και της θεωρίας των ιδεών στον Πλάτωνα, στο O. Bekker (επιμέλεια), Zur Geschichte der griechischen Mathematik (Η ιστορία των ελληνικών μαθηματικών), Darmstadt 1965, σ. 45-75.] Για τους Έλληνες ο αριθμός δεν νοούνταν κυρίως ως «ακέραιος αριθμός», δηλαδή ως ένα είδος συμπαγούς μεγέθους, αλλά ως μια οργανωμένη αναλογία μεγεθών και κλασμάτων μεγεθών: οι αριθμοί νοούνταν ως λόγοι και αναλογίες. Κατά συνέπεια, ο ελληνικός λόγος είναι ουσιαστικά συνδεδεμένος με τη διαστατική έννοια του αριθμού, ακριβώς με τη σημασία του «σχέσης». Για τους λόγους αυτούς, είναι απολύτως φυσικό για τους Έλληνες να συνδέουν τις «σχέσεις» με τους αριθμούς, δεδομένων των στενών δεσμών μεταξύ σχέσεων και αριθμών.

Εάν αυτό διατηρείται καλά στο νου, τότε εξηγείται πολύ καλά η σχέση μεταξύ των Ιδεών και των Αριθμών κατά τον Πλάτωνα.

Κάθε Ιδέα είναι τοποθετημένη σε μια ακριβή θέση στον νοητό κόσμο, ανάλογα με τον μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό καθολικότητάς της και ανάλογα με τη λιγότερο ή περισσότερο σύνθετη μορφή των σχέσεων που αυτή διατηρεί με τις άλλες Ιδέες που βρίσκονται είτε επάνω είτε κάτω από αυτή. Αυτή η ύφανση σχέσεων, συνεπώς, μπορεί να ανασυγκροτηθεί και να προσδιοριστεί μέσω διαλεκτικών διεργασιών (για τις οποίες θα μιλήσουμε σε άλλο κεφάλαιο)· και ακριβώς για τους εξηγημένους λόγους, αυτή η ύφανση μπορεί να εκφραστεί αριθμητικά, από τη στιγμή που ο αριθμός εκφράζει σχέσεις. Να προστεθεί επίσης ότι οι «σχέσεις» δεν πρέπει να εννοούνται μόνο με αριθμητική έννοια, αλλά και με γεωμετρική, έτσι ώστε η δομική ύφανση των σχέσεων να αποβαίνει εξαιρετικά σύνθετη και πολύπλοκη.

Πρέπει ακόμη να ληφθεί υπόψη ότι αυτές οι αριθμητικές και γεωμετρικές σχέσεις, στο μέτρο που εκφράζουν την οντολογική δομή, είναι εκείνο που παραμένει στη σταθερότητα του Είναι, και δεν έχουν καμία σχέση με τις αφαιρέσεις με τη σύγχρονη έννοια, όπως θα δούμε.

Συνεπώς, στη σύλληψη του αριθμού ως «σχέσης» (λόγος), με την έννοια που μόλις προσδιορίστηκε, βρίσκεται το κλειδί για να μπορέσουμε να διαβάσουμε και να κατανοήσουμε αυτό το εξαιρετικά λεπτό σημείο των «άγραφων διδαχών» [Βλ. Reale, Per una nuova interpretazione di Platone..., σ. 228 κ.ε].

Σημαντικές αντιστοιχίες της πλατωνικής σύλληψης των δεσμών ανάμεσα σε Ιδέες και Μορφές και αριθμητικές σχέσεις με ορισμένες βασικές έννοιες της αρχιτεκτονικής και της γλυπτικής των Ελλήνων

Η ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ με τους αριθμούς έχει προκαλέσει κατάπληξη σε όχι λίγους μελετητές, σε σημείο που κάποιοι θεώρησαν μάλιστα πως επρόκειτο για επινόηση των μαθητών, και συνεπώς για παρανόηση, ή, εν πάση περιπτώσει, για μια παρακμή της σκέψης του γηραιού Πλάτωνα. Η αμφιβολία που γεννήθηκε σε αρκετούς μελετητές είναι η εξής: σε σύγκριση με την λαμπρή, φωτεινή και διαυγή θέαση του κόσμου των Ιδεών, μήπως οι περιπλοκές που συνεπάγεται η εμπλοκή των αριθμών δεν καταστρέφουν το όλο σχήμα, υπονομεύοντας εκείνη την αρμονία και το μέτρο που είναι ίδιον του ελληνικού πνεύματος;

Καταρχάς, αυτό το προβληματικό ζήτημα δεν μπορεί να είναι ούτε επινόηση των μαθητών, ούτε θέση του «γηραιού» Πλάτωνα, διότι ένα πυκνό δίκτυο υπαινικτικών αναφορών εντοπίζεται στους πλατωνικούς διαλόγους, ξεκινώντας ήδη από τον Ιππία Μείζονα, και κατόπιν εμφανώς στον Φαίδωνα, καθώς και με επίμονη παρουσία κατά τη διάρκεια της Πολιτείας, εκτός από τους διαλεκτικούς διαλόγους.

Ως επιβεβαίωση όσων ήδη είπα παραπάνω, δηλαδή της αξιοσημείωτης συνοχής και της θεωρητικής αναγκαιότητας αυτής της διδασκαλίας, θα δείξω τώρα πώς αυτή αντανακλά έναν τυπικό τρόπο σκέψης των Ελλήνων, παρόμοιο με αυτόν που ήδη είδαμε σχετικά με τη θεωρία των Αρχών.

Ας θυμηθούμε ότι η Ιδέα σημαίνει Μορφή. Οι αρχιτέκτονες, οι γλύπτες και οι καλλιτέχνες της πλαστικής τέχνης δεν θεωρούσαν ότι η ίδια η Μορφή ήταν το υπέρτατο σημείο της τέχνης, αλλά ότι αυτή προερχόταν ακριβώς από τους αριθμητικούς λόγους, βάσει συγκεκριμένων «προτύπων» και «κανόνων», οι οποίοι εξέφραζαν, ακριβώς, τα θεμελιώδη στοιχεία των ίδιων των Μορφών. Στην αρχιτεκτονική, όπως και στη γλυπτική και στην κεραμική, ο «κανόνας» αντιστοιχούσε στον «νόμο» που ρύθμιζε τη μουσική, και εξέφραζε έναν ουσιώδη κανόνα τελειότητας, ο οποίος καθοριζόταν ακριβώς ως αριθμητική αναλογία.

Οι Έλληνες καλλιτέχνες αναφέρονταν στις ορατές Μορφές, ενώ ο Πλάτων μετέφερε το ζήτημα στο μεταφυσικό και πρωτολογικό επίπεδο, αλλά ακολουθώντας την ίδια λογική: θεωρούσε τις Ιδέες και τις νοητές Μορφές όχι ως τα έσχατα ανώτατα όντα, αλλά τις συνέδεε με τους ιδεατούς Αριθμούς και συνεπώς με τις πρώτες και υπέρτατες Αρχές, και από αυτές τις ανήγαγε.

Αναφέρω ορισμένα παραδείγματα για να διευκρινίσω τον ισχυρισμό μου.

Ας αρχίσουμε από τις υπέροχες μορφές των ελληνικών ναών. Ο Tatarkiewicz, στην Ιστορία της αισθητικής του, διευκρινίζει:

«Στον ελληνικό ναό κάθε λεπτομέρεια τηρεί προκαθορισμένες αναλογίες. Αν πάρουμε ως μέτρο την ακτίνα μιας κολώνας, ο ναός του Θησέα στην Αθήνα έχει πρόσοψη με έξι κολώνες των 27 μονάδων: οι έξι κολώνες μετρούν 12 μονάδες, οι τρεις κεντρικές κλίτες περιλαμβάνουν 3,2 μονάδες, οι δύο πλευρικές κλίτες 2,7 η καθεμία, 27 συνολικά. Η αναλογία μεταξύ μιας κολώνας και της κεντρικής κλίτης είναι 2 : 3,2 ή 5 : 8. Το τρίγλυφο έχει πλάτος μιας μονάδας και η μετόπη 1,6, έτσι ώστε η αναλογία τους να είναι ξανά 5 : 8. Οι ίδιοι αριθμοί απαντώνται σε πολλούς δωρικούς ναούς»[W. Tatarkiewicz, Storia dell’estetica, τόμος Ι, L’estetica antica, ιταλική μετάφραση του G. Fubini, επιμέλεια του G. Cavaglia, Einaudi, Τορίνο 1979· το απόσπασμα που αναφέρεται βρίσκεται στη σελίδα 77].

Ο Tatarkiewicz παραπέμπει στις εξής έννοιες του Βιτρούβιου, ως επιβεβαίωση του γεγονότος ότι και ο κανόνας της γλυπτικής εξαρτιόταν από μια προκαθορισμένη αριθμητική αναλογία, συνοψίζοντάς τες ως εξής:

Όπως βεβαιώνει ο Γαληνός, η ομορφιά γεννιέται από την ακριβή αναλογία όχι των στοιχείων αλλά των μερών: ενός δαχτύλου σε σχέση με ένα άλλο δάχτυλο, όλων των δαχτύλων σε σχέση με τον καρπό και το μετακάρπιο, αυτών σε σχέση με το αντιβράχιο, και εν γένει όλων των μερών μεταξύ τους, όπως στο Κανόνα του Πολύκλειτου (Tatarkiewicz, Storia dell’estetica, vol. I, σ. 81).

Είναι λοιπόν σαφές ότι ο «κανόνας» του Πολύκλειτου εξέφραζε τις αναλογίες των μερών ως δυνατότητα απόδοσής τους σε ακριβείς «λόγους», που, όπως εξηγήσαμε παραπάνω, για τους Έλληνες ταυτίζονταν με τους «αριθμούς».

Επιπλέον, η τελειότητα της μορφής και της φιγούρας που επιτυγχανόταν στη ελληνική γλυπτική συνδεόταν με τα γεωμετρικά σχήματα. Διευκρινίζει ο Tatarkiewicz:

«Κατά την κλασική ελληνική περίοδο διαμορφώνεται επίσης η ιδέα ότι το ιδανικά κατασκευασμένο ανθρώπινο σώμα μπορεί να ενταχθεί εντός απλών γεωμετρικών σχημάτων, όπως ο κύκλος και το τετράγωνο. “Αν ξαπλώσουμε έναν άνδρα ανάσκελα με ανοιχτά χέρια και πόδια και σχεδιάσουμε έναν κύκλο με κέντρο τον αφαλό, η περιφέρεια του κύκλου θα αγγίζει τις άκρες των δακτύλων των χεριών και των ποδιών”» (Tatarkiewicz, Storia dell’estetica, vol. I, σ. 85).

Ομοίως, αν, φανταζόμενοι τον άνθρωπο πάντα με ανοιχτά χέρια και πόδια, χαράξουμε μια ευθεία από χέρι σε χέρι, κατόπιν μια ευθεία από χέρι σε πόδι δεξιά και αριστερά, και τέλος από πόδι σε πόδι, προκύπτει ένα τετράγωνο (που εγγράφεται με τέλειο τρόπο στον προαναφερθέντα κύκλο), του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται ακριβώς στο σημείο του αφαλού. Πρόκειται για τη διάσημη απεικόνιση που έγινε κλασική και δηλώνεται με την έκφραση homo quadratus (τετράγωνος άνθρωπος).

Αλλά θα μπορούσε επίσης να αποδειχθεί, βάσει ακριβών υπολογισμών, ότι ένας από τους «κανόνες» στους οποίους εμπνέονταν οι Έλληνες καλλιτέχνες ήταν αυτός της χρυσής τομής, η οποία εφαρμοζόταν με διάφορους τρόπους στο σύνολο και στα μέρη, και στο παιχνίδι των σχέσεων των μερών με το όλο, με λαμπρά αποτελέσματα.

Ακόμη και όσον αφορά την αγγειογραφική τέχνη υπήρχαν κανόνες εκφρασμένοι σε αριθμητικές αναλογίες, που ρύθμιζαν τις σχέσεις ανάμεσα στο ύψος και το πλάτος των αγγείων, οι οποίες εκτείνονταν από τις απλούστερες αναλογίες (1:1) έως τις πιο σύνθετες και εξεζητημένες, που αντανακλούσαν την αναλογία της χρυσής τομής, όπως και στα αγάλματα (Tatarkiewicz, Storia dell’estetica, vol. I, σ. 85 κ.ε.).

Επομένως, όπως ήδη προαναφέραμε, το πλαστικό μάτι του Έλληνα δεν έβλεπε τη Φιγούρα και τη Μορφή (Ιδέα) ως κάτι το έσχατο, αλλά έβλεπε πέρα απ’ αυτήν κάτι περαιτέρω ως θεμέλιό της, δηλαδή τον Αριθμό και τον αριθμητικό Λόγο. Σκεφτείτε τώρα να μεταφέρουμε αυτές τις έννοιες στο επίπεδο που κατέκτησε ο Πλάτων με το «δεύτερο πλου» του: θα επιτευχθεί με αυτόν τον τρόπο μια τέλεια αντιστοιχία σε μεταφυσικό επίπεδο με εκείνο που οι Έλληνες καλλιτέχνες εξέφρασαν μέσω των δημιουργιών τους.

Οι Ιδέες, που εκφράζουν τις πνευματικές Μορφές και τις Ουσίες των πραγμάτων, δεν είναι η έσχατη αιτία των πραγμάτων, αλλά προϋποθέτουν κάτι επιπλέον, δηλαδή τους Αριθμούς και τους αριθμητικούς λόγους, και συνεπώς τις πρώτες και υπέρτατες Αρχές, από τις οποίες προέρχονται και οι ίδιοι οι ιδεατοί Αριθμοί και οι ίδιοι οι ιδεατοί αριθμητικοί λόγοι.

Τα μαθηματικά όντα ως «ενδιάμεσα» μεταξύ του κόσμου των Ιδεών και του αισθητού κόσμου και η καθοριστική τους λειτουργία

ΈΧΟΥΜΕ ΗΔΗ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΑΝΑΦΕΡΕΙ ότι για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά όντα δεν ταυτίζονται με τους Ιδεατούς Αριθμούς και τις Γεωμετρικές Μορφές, αλλά καταλαμβάνουν μια «ενδιάμεση» θέση ανάμεσα στον ιδεατό κόσμο και τον αισθητό κόσμο. Η πιο σαφής μαρτυρία σχετικά με αυτό μάς δίνεται και πάλι από τον Αριστοτέλη:

Ο Πλάτων υποστηρίζει ότι δίπλα στα αισθητά και στις Ιδέες, υπάρχουν τα μαθηματικά όντα, ενδιάμεσα μεταξύ των πρώτων και των δεύτερων, τα οποία διαφέρουν από τα αισθητά επειδή είναι ακίνητα και αιώνια, και διαφέρουν από τις Ιδέες επειδή υπάρχουν πολλά όμοια, ενώ κάθε Ιδέα είναι μοναδική και ατομική. (Αριστοτέλης, Μεταφυσική, I 6, 987 b 14-18.)

Αυτή η μαρτυρία επιβεβαιώνεται από συγκεκριμένες πλάγιες αναφορές στα πλατωνικά κείμενα, σε διάφορα επίπεδα.

Με την πρώτη ματιά αυτή η διδασκαλία μπορεί να προκαλεί έκπληξη, ωστόσο εντάσσεται απολύτως στο πλαίσιο της πλατωνικής μεταφυσικής.

Τα μαθηματικά αυτά όντα είναι «ενδιάμεσα», καθώς είναι, από τη μια, «ακίνητα» και «αιώνια» όπως οι Ιδέες (και οι Ιδεατοί Αριθμοί), και, από την άλλη, «πολλά» του ίδιου είδους, όπως συμβαίνει με τα αισθητά πράγματα. Με άλλα λόγια: φέρουν ταυτόχρονα ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των Ιδεών και ένα χαρακτηριστικό των αισθητών πραγμάτων. Πέραν του ότι είναι «ενδιάμεσα», και ακριβώς λόγω αυτής της οντολογικής τους θέσης, τα μαθηματικά όντα λειτουργούν επίσης ως «μεσολαβητές» μεταξύ των νοητών και των αισθητών πραγματικοτήτων: είναι τα μέσα μέσω των οποίων οι Ιδέες μπορούν να είναι παρούσες στα πράγματα και τα πράγματα να μετέχουν σε αυτές, να τις «μιμούνται».

Οι λόγοι για τους οποίους ο Πλάτων εισήγαγε τα ενδιάμεσα μαθηματικά όντα είναι σαφείς. Οι αριθμοί με τους οποίους εργάζεται η αριθμητική, καθώς και τα μεγέθη με τα οποία ασχολείται η γεωμετρία, δεν είναι αισθητά, αλλά νοητά. Από την άλλη, δεν μπορούν να είναι Ιδεατοί Αριθμοί ούτε Ιδεατά Μεγέθη, διότι οι αριθμητικές και γεωμετρικές πράξεις προϋποθέτουν πολλαπλούς ίδιους αριθμούς καθώς και πολλαπλές ίδιες γεωμετρικές μορφές και μεταβολές των ίδιων ουσιών (π.χ. πολλά ίδια τρίγωνα, και πολλές διαφορετικές μορφές τριγώνων που αναφέρονται στις αποδείξεις), ενώ κάθε Ιδεατός Αριθμός είναι μοναδικός (αφού μοναδική είναι και η ουσία που εκφράζει), όπως και κάθε ιδεατή γεωμετρική μορφή. Τώρα, είναι ακλόνητη πεποίθηση του Πλάτωνα ότι υπάρχει τέλεια δομική αντιστοιχία μεταξύ της γνώσης και της ύπαρξης: σε κάθε επίπεδο γνώσης ενός ορισμένου τύπου πρέπει απαραίτητα να αντιστοιχεί ένα οντολογικό επίπεδο του ίδιου τύπου.

Κατά συνέπεια, στο επίπεδο της μαθηματικής γνώσης, το οποίο είναι ανώτερο από το επίπεδο της αισθητής γνώσης αλλά κατώτερο από την καθαρή διαλεκτική γνώση, πρέπει να αντιστοιχεί ένα πεδίο με τις αντίστοιχες οντολογικές ιδιότητες: στην περίπτωσή μας, καθίσταται αναγκαία η ύπαρξη πολλών όμοιων αριθμών, όπως απαιτούνται από τις διάφορες αριθμητικές πράξεις, και πολλών όμοιων σχημάτων, όπως απαιτούνται από τις διαφορετικές γεωμετρικές αποδείξεις.[Βλ. Reale, Per una nuova interpretazione di Platone..., σ. 237 κ.ε].

Για τους ήδη αναφερθέντες λόγους, επιπλέον, ήταν απαραίτητο για τον Πλάτωνα αυτό το σύστημα νοητών όντων, ακριβώς για να εξηγήσει εκείνο τον καθρεφτισμό του νοητού στο αισθητό, όπως θα έχουμε την ευκαιρία να εξηγήσουμε πληρέστερα μιλώντας για την κοσμολογία.

Δομικές σχέσεις ανάμεσα στα μαθηματικά και την οντολογία

ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΜΕΛΕΤΗΤΕΣ ΣΚΕΦΤΗΚΑΝ ότι η σημαντική έμφαση που έδωσε ο Πλάτωνας στα μαθηματικά συνεπαγόταν έναν είδος μαθηματικοποίησης της οντολογίας του. Στην πραγματικότητα αυτό δεν είναι ακριβές: αν μη τι άλλο, αυτό ισχύει για τον ανιψιό και διάδοχό του, τον Σπεύσιππο. Ήδη ο Αριστοτέλης, σε αντιπαράθεση με τον Σπεύσιππο και τους οπαδούς του, έγραφε:

«Για τους σημερινούς φιλοσόφους τα μαθηματικά έχουν γίνει φιλοσοφία, ακόμη κι αν αυτοί διακηρύσσουν πως πρέπει να ασχολούμαστε με αυτά μόνο σε συνάρτηση με άλλα πράγματα». [Σε πιο ελεύθερη απόδοση: Ορισμένοι φιλόσοφοι αντιμετωπίζουν τα μαθηματικά ως φιλοσοφία — ακόμη κι αν λένε ότι τα χρησιμοποιούν μόνο ως μέσα για κάτι άλλο, στην πράξη τα κάνουν αυτοσκοπό] (Αριστοτέλη, Μεταφυσική, I 9, 992 a 32-b 1).

Αλλά για τον Πλάτωνα ισχύει μάλλον το αντίθετο: δεν μαθηματικοποίησε την οντολογία, αλλά μάλλον οντολογικοποίησε τα μαθηματικά. Ο Hösle γράφει: «Είναι λανθασμένο να υποτιμά κανείς τη σημασία των μαθηματικών για τη σωκρατικο-πλατωνική φιλοσοφία. Κι όμως [...] θα ήταν εξίσου εσφαλμένο να θεωρηθεί ο Πλάτωνας ως ο πρώτος στοχαστής που θέλησε να οικοδομήσει τη φιλοσοφία με βάση τα μαθηματικά [...]· στον Πλάτωνα πρέπει κανείς να δει μια οντολογικοποίηση των μαθηματικών, πολύ περισσότερο παρά μια μαθηματικοποίηση της οντολογίας. Για τον Πλάτωνα, πράγματι, τα μαθηματικά δεν μπορούν να θεμελιώσουν την οντολογία, αλλά μόνο η οντολογία μπορεί να θεμελιώσει τα μαθηματικά, ακόμη κι αν αυτά, μέσα στην διαλεκτική πορεία της "οδού προς τα άνω" (της «ανόδου»), είναι σε θέση να κατευθύνουν προς τις υπέρτατες αρχές» (V. Hösle, Τα θεμέλια της αριθμητικής και της γεωμετρίας στον Πλάτωνα, Εισαγωγή του G. Reale, μετάφραση του E. Cattanei, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1994, σ. 45).

Ακριβώς επειδή τα αντικείμενα των μαθηματικών είναι «ενδιάμεσα» και «μεσολαβητικά» μεταξύ του αισθητού και του νοητού, προσφέρουν ένα «παράδειγμα» που αντανακλά την πραγματικότητα στο σύνολό της, και έτσι λειτουργούν σαν ένας καθρέφτης που δείχνει το Όλο.

Φυσικά, δείχνουν το Όλο με αναλογική έννοια, καθώς η μαθηματική και η μεταφυσική γνώση παραμένουν διακριτές. Ο Gaiser διευκρίνισε καλά αυτό το σημείο: «Δεδομένου ότι για τον Πλάτωνα το σύστημα των μαθηματικών αντικειμένων αντιπροσωπεύει μια οντολογικά κατώτερη, περιορισμένη και ειδική, αλλά αναλογική, απομίμηση της οντολογικής αλληλουχίας, του είναι δυνατόν να θεσπίσει τους νόμους του Είναι κοιτάζοντας τους νόμους του μαθηματικού αντικειμένου ως πρότυπο» (K. Gaiser, Η άγραφη διδασκαλία του Πλάτωνα, Πρόλογος του G. Reale, εισαγωγή του H. Krämer, μετάφραση του V. Cicero, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1994, σ. 219. Πρωτότυπος τίτλος: Platons ungeschriebene Lehre, Στουτγάρδη 1968). 

Με αυτό δηλώνεται ότι τα μαθηματικά, σε σχέση με τη γενική φιλοσοφική οντολογία, έχουν μια προτεραιότητα ως προς τη μεθοδολογική-ευρετική τους αξία, αλλά είναι υποδεέστερα από την άποψη του περιεχομένου. Η δομή του ίδιου του Είναι δεν είναι ειδικά μαθηματικού τύπου [Η δομή του Είναι δεν ανάγεται σε μαθηματικές αρχές]· και θεωρούμενοι συνολικά, οι μαθηματικοί νόμοι δεν έχουν το θεμέλιό τους στον μαθηματικό χώρο, αλλά, σε τελική ανάλυση, στις γενικές αρχές του Είναι.

Η Ακαδημία έδωσε μια αποφασιστική ώθηση στη γεωμετρία με την Ευκλείδεια έννοια

ΜΟΝΟ ΠΡΟΣΦΑΤΑ ΑΝΑΔΕΙΧΘΗΚΕ η σημασία που είχε η Ακαδημία στην ιστορία της γεωμετρίας, και συγκεκριμένα ο σημαντικός ρόλος που έπαιξε στην εδραίωση αυτής της επιστήμης με την έννοια που θα της δώσει οριστική μορφή ο Ευκλείδης.

Ειδικότερα, ήταν αποφασιστική η ανακάλυψη του Ίμρε Τοθ (Imre Toth), ο οποίος βρήκε στο Corpus Aristotelicum την παρουσία δεκαοκτώ αποσπασμάτων που περιέχουν θραύσματα και ίχνη γεωμετρίας που σήμερα θα χαρακτηριζόταν «μη ευκλείδεια».

Τα ίχνη που υπάρχουν σε αυτά τα αποσπάσματα αφορούν το πρόβλημα των παραλλήλων και το ζήτημα του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου.

Σε εκείνα τα αποσπάσματα ο Αριστοτέλης κάνει σαφές ότι στην Ακαδημία, όπου είχε παραμείνει για είκοσι χρόνια, υπήρχαν ζωηρές συζητήσεις σχετικά με την αρχή των παραλλήλων (αυτήν που θα διατυπωθεί στο πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη), με αποτυχημένες προσπάθειες απόδειξής της, και με την επακόλουθη κατάληξη στην οποία οδηγήθηκαν, δηλαδή ότι αυτή δεν είναι αποδείξιμη και γίνεται αποδεκτή ως ελεύθερη επιλογή. Ο Αριστοτέλης συνδέει στενά με την αρχή των παραλλήλων το ζήτημα του αθροίσματος των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, που προκύπτει ίσο με δύο ορθές γωνίες, μόνο αν γίνει δεκτό αυτό που θα είναι το πέμπτο αξίωμα· ενώ, αν δεν γίνει δεκτή εκείνη η αρχή, το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου δεν είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες: για παράδειγμα, αν το τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από δύο ορθές, τότε «οι παράλληλες τέμνονται» (Βλ. Αριστοτέλη, Αναλυτικά Πρότερα, 65 a 4-7). 

Στα Αναλυτικά Πρότερα διευκρινίζει:

Δεν υπάρχει τίποτα το παράδοξο στο ότι ένα και το αυτό συμπέρασμα προκύπτει από πολλές υποθέσεις. Για παράδειγμα, δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη ότι δύο ευθείες παράλληλες τέμνονται, είτε στην περίπτωση που η εσωτερική γωνία προκύπτει μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εξωτερική, είτε στην περίπτωση που το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου υπερβαίνει τις δύο ορθές γωνίες (Αριστοτέλη, Αναλυτικά Πρότερα, 66 a 11-15).

Ο Ιταλός αναγνώστης έχει τώρα στη διάθεσή του το βιβλίο που συνέγραψε ο Τόθ κατόπιν δικής μου προτροπής: “Ο Αριστοτέλης και τα αξιωματικά θεμέλια της γεωμετρίας”. Προλεγόμενα στην κατανόηση των μη-ευκλείδειων αποσπασμάτων στο Corpus Aristotelicum (Αυτό το βιβλίο προτάθηκε από εμένα και μεταφράστηκε από τον E. Cattanei, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1997), στο οποίο παρουσιάζονται με εξαίρετο τρόπο τα αποτελέσματα των ερευνών του, με τις συνέπειες που απορρέουν από αυτά.

Λοιπόν, ενώ στον Αριστοτέλη υπάρχουν δεκαοκτώ αποσπάσματα στα οποία διαπιστώνονται αυθεντικά «απολιθώματα» έμμεσων προσπαθειών επίλυσης του προβλήματος των παραλλήλων, στον Πλάτωνα ανευρίσκονται μόνο υποτονικές νύξεις, μόνο κάποιες αμυδρές αναφορές. Ο λόγος αυτού είναι προφανής: ο Αριστοτέλης, ως εμπειρικός παρατηρητής, κάνει αναφορά σε εκείνες τις έννοιες με φόντο τις αβεβαιότητες των σχετικών συζητήσεων στην Ακαδημία· ενώ ο Πλάτων, πολύ πιο οξυδερκής και δημιουργικός στον τομέα αυτό, είχε ήδη κάνει μια σαφή επιλογή με «ευκλείδεια» κατεύθυνση, με όλα όσα αυτό συνεπάγεται, όπως αποδεικνύεται από τις μεγάλες συνεισφορές που προσέφεραν στις ακαδημαϊκές συζητήσεις μαθηματικοί του διαμετρήματος του Θεαίτητου και του Εύδοξου.

Ο Hösle γράφει δικαίως: «Εκ των προτέρων είναι αρκετά πιθανό ότι τα γεωμετρικά δεδομένα που υπάρχουν στον Αριστοτέλη ανάγονται στα χρόνια που πέρασε στην Ακαδημία (367–347 π.Χ.): ας ληφθεί υπόψη ότι στα μαθηματικά, σε αντίθεση με σχεδόν όλες τις άλλες επιστήμες, ο Αριστοτέλης δεν παρήγαγε ο ίδιος κανενός είδους πρωτότυπη συνεισφορά (δεν συνέβαλε προσωπικά με κανένα πρωτότυπο έργο), και ότι η Ακαδημία ήταν το κέντρο της μαθηματικής έρευνας εκείνης της εποχής, στο οποίο τέθηκαν οι βάσεις για τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Προς τούτο, πρέπει να υπενθυμιστούν τρία πράγματα: η επεξεργασία των άρρητων αριθμών από τον Θεαίτητο, η οποία βρίσκεται στο δέκατο βιβλίο των Στοιχείων· η συστηματική ανάλυση, επίσης από τον Θεαίτητο, των κανονικών στερεών, η οποία βρίσκεται στο δέκατο τρίτο βιβλίο· και η θεμελίωση από τον Εύδοξο της γενικής θεωρίας των αναλογιών, η οποία εμφανίζεται στο πέμπτο βιβλίο, το οποίο, χάρη στην ακρίβεια με την οποία εξετάζεται το απειροστικό, καταδεικνύει ένα επίπεδο που επιτεύχθηκε εκ νέου μόνο από τον Ντέντεκιντ (Dedekind)»(V. Hösle, I fondamenti dell'aritmetica e della geometria in Platone, σσ. 113-114).

Αλλά ο Hösle προχωρεί πέρα από αυτό. Όπως γνωρίζουμε, το Ένα και η Αόριστη Δυάδα του μεγάλου και του μικρού, ακριβώς επειδή είναι πρώτες και υπέρτατες αρχές, είναι θεμελιώδεις για ολόκληρη την πραγματικότητα, χωρίς εξαιρέσεις: όπως έχουμε δει, από αυτές προέρχονται οι Αριθμοί και οι Ιδεατές Μορφές, και επομένως και τα μαθηματικά όντα. Λαμβάνοντας υπόψη πάντα τις μη αναστρέψιμες ανακαλύψεις του Τόθ και ακολουθώντας τις γραμμές που χάραξε ο Γκάιζερ (Gaiser), ο Hösle εξάγει τα εξής συμπεράσματα: «Με βάση έρευνες που υποκινήθηκαν από τον Πλάτωνα, πιθανότατα ο Λεοδάμας κατάφερε να διακρίνει την έλλειψη αυστηρότητας που υπάρχει στις αποδείξεις της πρότασης (του θεωρήματος) I 29 του Ευκλείδη που είχαν παραχθεί έως την εποχή του, και πείστηκε για την αναγκαιότητα να καλυφθεί αυτό το κενό με ένα μη αποδείξιμο αξίωμα· αυτό οδήγησε τη γεωμετρία σε μια ριζική κρίση θεμελίων, στην οποία φαίνεται ότι η προσφυγή στη διαίσθηση έπαιξε όχι ασήμαντο ρόλο. Φαίνεται ότι η συμβολή του Πλάτωνα, σε αυτήν τη δύσκολη συγκυρία, ήταν να επιμείνει σε μια έννοια γεωμετρίας αυστηρή, που απαρνείται τη διαίσθηση, και ως εκ τούτου είναι πολύ σύγχρονη, και να άρει την κρίση με μια οντολογική κατασκευή: η ευκλείδεια γεωμετρία, ως “γεωμετρία της ορθής γωνίας”, είναι η οντολογικά αληθής γεωμετρία. Υπό αυτό το φως, είναι εύλογο ότι ο υπεύθυνος για την κατάρρευση των πρώτων αντιευκλείδειων προσπαθειών, μέχρι την αναγέννησή τους τον δέκατο όγδοο και δέκατο ένατο αιώνα, ήταν ο Πλάτων. Δικαίως, λοιπόν, θα έπρεπε να αποκαλείται η ευκλείδεια γεωμετρία ‘πλατωνική γεωμετρία’»(V. Hösle, I fondamenti dell'aritmetica e della geometria in Platone, σσ. 136-137. Η υπογράμμιση δική μας)

Όμως, για να κατανοήσουμε καλά αυτά τα σημαντικά συμπεράσματα, και επομένως την επαναστατική εμβέλεια της πλατωνικής σκέψης σε όλα τα επίπεδα, χρειάζεται μια περαιτέρω διευκρίνιση. Η ορθή γωνία αντιστοιχεί στο ίσο καθ’ εαυτό, και επομένως σε αυτήν είναι καθοριστικό και υπερέχον το Ένα, ενώ η αντίθεση ανάμεσα σε αμβλείες και οξείες γωνίες, που μπορούν να γίνονται όλο και μεγαλύτερες ή όλο και μικρότερες, αντανακλά τη καθοριστική και κυρίαρχη λειτουργία που παίζει σε αυτές η αρχή αντίθετη προς το Ένα, δηλαδή η Αόριστη Δυάδα του μεγάλου και του μικρού!

Όπως είχε ήδη αποδείξει ο Μάρκοβιτς, αυτή η αναγωγή τεκμηριώνεται επαρκώς στην εσωτερική διδασκαλία του Πλάτωνα, δεδομένου ότι και η ύστερη αρχαιότητα είχε δώσει έμφαση σε αυτό. (Z. Marcovic, Η θεωρία του Πλάτωνα για το Ένα και την αόριστη δυάδα και τα ίχνη της στην ελληνική μαθηματική σκέψη, στο O. Becker, Zur Geschichte der griechischen Mathematik/Η ιστορία των ελληνικών μαθηματικών, Darmstadt 1965, σ. 308-318.)

Επομένως, οι «άγραφες διδαχές» του Πλάτωνα αποδεικνύονται μάλιστα ένα από τα καθοριστικά στοιχεία στην κατασκευή της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Και τότε, το ρητό από το οποίο ξεκινήσαμε: «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω», είτε γράφτηκε είτε όχι πραγματικά στην πύλη της Ακαδημίας του Πλάτωνα, εκφράζει οπωσδήποτε ένα σύμβολο αληθινά εμβληματικό της σκέψης και του πνεύματος του Πλάτωνα.

Ορισμένες τελικές επισημάνσεις

ΜΕΤΑ ΑΠ’ ΟΣΑ ΕΙΠΑΜΕ για τον νοητό κόσμο των Αρχών και των Ιδεών, καθώς και για τα μαθηματικά «ενδιάμεσα» όντα, ο αναγνώστης δεν μπορεί παρά να καταληφθεί από τις αμφιβολίες που επανειλημμένως έχουν εγερθεί κατά τη διάρκεια της ιστορίας, ξεκινώντας από τη ζωηρή διαμάχη σχετικά με το πρόβλημα των καθόλου, με τα γνωστά αποτελέσματα. Πράγματι, η θέση του Πλάτωνα επικρινόταν ως μια θέση υπερβολικού «ρεαλισμού», με την επιβολή μιας πραγματικότητας και ενός οντολογικού βάθους σε όλα τα καθόλου. Και στη νεότερη και σύγχρονη εποχή έχουν επικρατήσει ξεκάθαρα θέσεις «εννοιοκρατικές» και ακόμη και «ονοματοκρατικές».

Και με μια δόση πλατωνικής ειρωνικής πρόκλησης, θα ήθελα να απαντήσω σε αυτές τις αμφιβολίες με διατυπώσεις ορισμένων μεγάλων συγγραφέων.

Πρώτον, θα ήθελα να υπενθυμίσω όσα λέει ο Findlay, στο έργο του “Πλάτων. Γραπτές και άγραφες διδασκαλίες” (έργο του οποίου την ιταλική μετάφραση εγώ ο ίδιος προώθησα και έγραψα το εισαγωγικό δοκίμιο), σε αντίθεση με το ρεύμα της αγγλοσαξονικής κουλτούρας με το έντονο εμπειριστικό πνεύμα:

«Αυτό που είναι ουσιώδες στη μεγάλη πλατωνική επανάσταση δεν είναι η ανύψωση των κατηγορημάτων σε ένα νέο είδος λογικών υποκειμένων, παρόλο που θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να την εκφράσουμε ακριβώς έτσι: είναι μάλλον η αναγνώριση ότι τα κατηγορήματα, τα νοήματα, τα καθόλου, είναι, τρόπον τινά, η πρωταρχική ουσία της εμπειρίας και της πραγματικότητας, ότι τα λεγόμενα ιδιαίτερα (ή επιμέρους) πράγματα ως τέτοια είναι μη αναγνωρίσιμα και μη ανιχνεύσιμα, και ότι όλη τους η ύπαρξή τους συνίσταται, αν μπορούμε να το πούμε έτσι, σε φύσεις που ενσαρκώνονται σε αυτά ή στο ότι είναι υποκείμενα κατηγορημάτων». Και ακόμη:

«Το ότι κάθε πράγμα στον κόσμο αποκτά νόημα υπό το φως μιας κυρίαρχης, ειδητικής καθολικότητας, είναι ένας τρόπος να βλέπουμε τα πράγματα που είναι ο ίδιος απόλυτα συνεπής και δεν αφήνει τίποτα ανεξήγητο. Είναι σίγουρα κάτι υπό το φως του οποίου εμείς, ως ιδιαίτερα παραδείγματα επιδεκτικά ματαίωσης, όχι μόνο ελπίζουμε να ασκήσουμε τη σκέψη μας αλλά και να ζήσουμε, μέσα σε αυτόν τον ρευστό κόσμο παραδειγμάτων» [J.N. Findlay, Πλάτων. Οι γραπτές και άγραφες διδασκαλίες. Με μια συλλογή αρχαίων μαρτυριών για τις άγραφες διδασκαλίες, Εισαγωγή και μετάφραση των αρχαίων μαρτυριών για τις άγραφες διδασκαλίες του G. Reale, μετάφραση του αγγλικού κειμένου του R. Davies, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1994, σ. 323 (αρχικός τίτλος: Plato. The Written and Unwritten Doctrines, Λονδίνο 1974), σ. 323 και 370].

Δεύτερον, θα ήθελα να υπενθυμίσω ορισμένες επισημάνσεις που έκανε ο Philip Merlan, μαθητής του μεγάλου μελετητή Heinrich Gomperz, σε ένα βιβλίο του οποίου προώθησα και προλόγισα την ιταλική μετάφραση: Από τον Πλατωνισμό στον Νεοπλατωνισμό [Ph. Merlan, Dal Platonismo al Neoplatonismo, Εισαγωγή του G. Reale, μετάφραση του E. Peroli, Vita e Pensiero, Μιλάνο 1990, 1994, σημείωση 3, σ. 52 (αρχικός τίτλος From Platonism to Neoplatonism, Χάγη 1968)]. Παρότι υπό ένα Χεγκελιανό πέπλο, το οποίο δεν συμμερίζομαι, εκφράζει μια ιδέα με την οποία συμφωνώ πλήρως:

«Αυτό το βιβλίο συντέθηκε με μια στάση απόλυτης συμπάθειας, έστω κι αν δεν υπάρχει πλήρης αποδοχή, απέναντι στον υπερβολικό ρεαλισμό. Για να εξηγήσει κανείς αυτή τη συμπάθεια, θα μπορούσε να προτείνει την εξής θέση. Η μόνη σχέση που μπορεί να γίνει κατανοητή είναι η σχέση συνεπαγωγής και ανάπτυξης (με την έννοια που χρησιμοποίησε ο Νικόλαος Κουζάνος για τον δεύτερο όρο). Μια αιτιακή εξήγηση, δηλαδή η ενέργεια ενός πράγματος πάνω σε ένα άλλο στον χώρο και στον χρόνο, δεν είναι καθόλου εξήγηση, αλλά το πολύ μια απόπειρα εξήγησης. [...] Ο υπερβολικός ρεαλισμός, αντί να χαρακτηριστεί από το γεγονός ότι υποστασιοποιεί τις έννοιες, θα έπρεπε να προσδιοριστεί ως η δοξασία που παραδέχεται ότι μόνο το “λογικό” (νους, πνεύμα) είναι πραγματικό».

Και περαιτέρω διευκρινίζει, με πιο αποφασιστικό και ορθό τρόπο:

«Ο υπερβολικός ρεαλισμός είναι ακριβώς αυτό: η επιμονή στο ότι η φιλοσοφία δεν πρέπει να είναι ούτε μια επίκληση, ούτε να παραιτείται από τα δικαιώματά της υπέρ των θετικών επιστημών για την κατανόηση της πραγματικότητας· η επιμονή στο ότι είναι καθήκον της φιλοσοφίας να κατανοεί, και ότι μόνο ό,τι μπορεί να εξηγηθεί με όρους “λογικής” συνεπαγωγής και ανάπτυξης είναι αυθεντικά κατανοημένο»(Ph. Merlan, Dal Platonismo al Neoplatonismo, σ. 52).

Τρίτον, θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή του αναγνώστη σε ένα απόσπασμα του Frege ιδιαίτερα εύγλωττο:

«Στην αριθμητική εμείς [...] αναφερόμαστε σε αντικείμενα που δίνονται απευθείας στη λογική μας και είναι απολύτως διαφανή σε αυτήν, σαν να ήταν ο στενότερος συγγενής της. Και όμως, ή μάλλον για αυτόν ακριβώς τον λόγο, αυτά τα αντικείμενα δεν είναι υποκειμενικές φαντασιώσεις. Δεν υπάρχει τίποτε πιο αντικειμενικό από τους νόμους της αριθμητικής»[G. Frege, The Foundations of Arithmetic, Οξφόρδη 1959, σ. 115 (το γερμανικό πρωτότυπο είναι του 1884 Die Grundlage der Arithmetik, που παρατίθεται παράλληλα με την αγγλική μετάφραση). Βλ. J.E. Annas, Interpretazione dei libri M-N (βλ. παρακάτω, σημείωση 8 στο κεφάλαιο IX), ιδίως σ. 37-38].

Τέλος, ακολουθώντας τον Πλάτωνα στη μέθοδό του να εξαπολύει το πιο αιχμηρό και δυνατό ειρωνικό βέλος στη κορύφωση της συζήτησης, ενάντια σε όσους θα ήθελαν να μειώσουν όλες τις μαθηματικές έννοιες σε δημιουργίες του ανθρώπινου νου, θα ήθελα να υπενθυμίσω μια όμορφη και αιχμηρή διατύπωση του Bertrand Russell:

«Η αριθμητική πρέπει να ανακαλύπτεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που ο Κολόμβος ανακάλυψε τους Ινδιάνους της Δύσης: δεν δημιουργούμε τους αριθμούς περισσότερο απ’ όσο εκείνος δημιούργησε τους Ινδιάνους»[B. Russell, Is Position in Space and Time Absolute or Relative?, «Mind», 10 (1901), σελ. 293-317· το απόσπασμα που αναφέρεται βρίσκεται στη σελ. 312].

Τέλος VIII Κεφαλαίου